Schreiben erzeugende Funktion als Produkt von geometrischen Reihen

Question

Aufgabe:

(a) Schreiben Sie die erzeugende Funktion der Quadratzahlen 0, 1, 4, 9, 16, . . . als Quotient von Polynomen.

(b) Sei a_n die Anzahl der Möglichkeiten n Eurocent durch beliebig viele 1-, 2- und 5-Centmünzen zusammen zu stellen. Schreiben Sie die erzeugende Funktion von a_n als Produkt von geometrischen Reihen.

(c) Interpretieren Sie die Koeffizienten der Potenzreihe \( \prod_{n=0}^{\infty} \) (1+X²ⁿ) kombinatorisch. Lässt sich die Reihe einfacher ausdrücken?

Versteht ihr vielleicht die Aufgabe?

Answer 1

Zu (a): Die geometrische Reihe lautet bekanntlich$$\sum_{n=0}^\infty x^n=\frac1{1-x}.$$Ableiten liefert$$\sum_{n=1}^\infty nx^{n-1}=\frac1{(1-x)^2}.$$Multipliziere mit \(x\) und erhalte $$\sum_{n=0}^\infty nx^n=\frac x{(1-x)^2}.$$Erneutes Ableiten liefert$$\sum_{n=1}^\infty n^2x^{n-1}=\frac{1+x}{(1-x)^3}.$$Multipliziere wieder mit \(x\) und erhalte$$\sum_{n=0}^\infty n^2x^n=\frac{x(1+x)}{(1-x)^3}=\frac{x+x^2}{1-3x+3x^2-x^3}=\frac{p(x)}{q(x)}.$$