Durch Parameterintegral "normales" Integral berechnen

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie \( \int\limits_{0}^{1} \) \( \frac{ln(1+ x)}{1+x^2} \) durch Betrachtung des Parameterintegrals F(α) = \( \int\limits_{0}^{1} \) \( \frac{ln(1+α^2 x)}{1+x^2} \)

Problem/Ansatz:

Kann mir hier jemand helfen? Ich bin mir 1. nicht sicher, wie man das Parameterintegral bildet, und dann auch nicht, wie ich das auf das erste Integral anwenden kann... Freue mich über jegliche Tipps!

Comments

Das erste Integral ist doch dann offensichtlich F(1), weil man nur für den Parameter 1 einsetzen braucht.

Wie man auf das Parameterintegral kommt hab ich allerdings keinen Plan. Habt ihr das mal in einer Vorlesung angesprochen oder gar eine Tabelle erhalten oder irgendwas ?

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Parameterintegrale haben wir wie folgt definiert:

Sei U⊂Rⁿ offen, I =  [a, b] , f: U × I → R. f ist eine Funktion auf I mit Parameter U.

Sei y ↦ f(x,y) für alle x ∈ U integrierbar.

Definiere:

φ : U → R , x ↦ \( \int\limits_{}^{} \) _I f(x,y)dy:= \( \int\limits_{a}^{b} \) f(x,y) dy

φ ist das Parameterintegral

Nur kann ich leider mit dieser Definition eher weniger anfangen... Dass das erste Integral F(1) ist, ist klar.

Hättest du denn einen anderen Weg, um das erste Integral zu berechnen?