Parameterintegral über e^(-t²) zwischen 0 und √x ableiten

Question

Gegeben ist die Funktion:

$$ f:(0,\infty)\rightarrow\mathbb{R},\ f(x):=\int_{0}^{\sqrt x}e^{-t^2}dt $$

Zu dieser Funktion soll ich nun die Ableitung berechnen. Das Ergebnis kenne ich: $$f'(x)=\frac{e^{-x}}{2\sqrt x}$$

Leider verstehe ich nicht ganz, wie man auf das Ergebnis kommt. Könnte mir jemand vielleicht behilflich sein?

Answer 1

Hallo,

sowohl \(x\mapsto \sqrt{x}\) und \(x\mapsto 0\) als auch \(t\mapsto e^{-t^2}\) sind in \((0,\infty)\) stetig differenzierbar. Nach der Leibnizregel für Parameterintegrale gilt sodann:$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\int \limits_{0}^{\sqrt{x}}e^{-t^2}\, \mathrm{d}t=\underbrace{\int \limits_{0}^{\sqrt{x}}\frac{\partial}{\partial x}e^{-t^2}}_{=0}\, \mathrm{d}t+e^{-(\sqrt{x})^2}\cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\sqrt{x})-\underbrace{e^{-0^2}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(0)}_{=1\cdot 0=0}=\frac{e^{-x}}{2\sqrt{x}}$$

Comments

Vielen Dank, das hat mir sehr geholfen :)