Absolute Konvergenz beweisen

Question

Aufgabe:

Absolute Konvergenz einer Reihe beweise

Problem/Ansatz:

ich wiederhole gerade schonmal für die Klausur und bin bei der Aufgabe nochmal stutzig geworden.

\( \sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{3 n} x^{4 n}}{(5 n) !} \)

Kann mir jemand einen kurzen Beweis aufzeigen ?

Liebe Grüße

Answer 1

Für die absolute Konvergenz kannst du den Faktor -1 ignorieren (bzw. du bildest von jedem Summanden den Betrag).

Wie wäre es denn mit dem Quotientenkriterium?

Answer 2

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge...

Zur Untersuchung des Konvergenzverhaltens der Summe:$$S\coloneqq\sum\limits_{n=0}^\infty a_n\quad;\quad a_n\coloneqq\frac{(-1)^{3n}x^{4n}}{(5n)!}$$bietet sich das Quotientenkriterium an. Wir müssen also zeigen, dass der Grenzwert des folgenden Quotienten kleiner als \(1\) ist:

$$\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\left|\frac{\frac{(-1)^{3(n+1)}x^{4(n+1)}}{(5(n+1))!}}{\frac{(-1)^{3n}x^{4n}}{(5n)!}}\right|=\left|\frac{(-1)^{3(n+1)}x^{4(n+1)}}{(5(n+1))!}\,\frac{(5n)!}{(-1)^{3n}x^{4n}}\right|=\left|\frac{(5n)!}{(5n+5)!}\,\frac{(-1)^{3n+3}x^{4n+4}}{(-1)^{3n}x^{4n}}\right|$$$$\phantom{\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|}=\left|\frac{(-1)^3x^4}{(5n+1)(5n+2)(5n+3)(5n+4)(5n+5)}\right|$$$$\phantom{\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|}=x^4\left|\frac{1}{(5n+1)(5n+2)(5n+3)(5n+4)(5n+5)}\right|<x^4\left|\frac{1}{(5n)^5}\right|\to0$$Der Grenzwert des Quotienten ist also für alle \(x\) kleiner als \(1\), daher konvergiert die Summe \(S\) für alle \(x\).