Zeigen Sie, dass das Parameterintegral stetig differenzierbar ist

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass die Funktion \( G:(0,1) \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto \int \limits_{0}^{1} \frac{t^{x}-1}{\log t} d t \) stetig differenzierbar ist und berechnen Sie explizit die Ableitung.

Problem/Ansatz:

Wie man hier die explizite Ableitung berechnet, weiß ich bereits, aber bei der Begründung, warum dieses Parameterintegral stetig differenzierbar ist, weiß ich nicht so recht, was ich da schreiben soll. Mir ist klar, dass es für den Parameterintegral zwei Sätze gibt, wo man aus dem Integranden diese folgern kann, aber das Problem ist, dass diese auf kompakte Intervalle definiert sind.

Also wie soll man, dass dann begründen, wenn diese Voraussetzung nicht vorliegt? Hier ist ja (0,1) kein kompaktes Intervall!

Comments

......................

---

Wenn du schon weisst, wie man die Ableitung berechnet, dann berechne sie und zeige dann, dass sie stetig ist...

---

Warum hast du die gleiche Frage mit meiner Antwort nochmals hier (https://math.stackexchange.com/questions/4483642/show-that-the-function-g0-1-rightarrow-mathbbr-x-mapsto-int-limits) gepostet?

---

Da hat sie dir anscheinend nicht vertraut, dass das stimmt. Ein bisschen seltsam.

Answer 1

Es gilt (da \(f\) stetig auf \((0, 1)\) ist)

\(\begin{aligned} \frac{\partial}{\partial x} \int \limits_{0}^{1} \frac{t^{x}-1}{\ln (x)} d t=\int \limits_{0}^{1} \frac{\partial}{\partial x} \frac{t^{x}-1}{\ln (x)} d t=\int \limits_{0}^{1} \frac{\ln (t) t^{x}}{\ln (t)} d t=\int \limits_{0}^{1} t^{x} d t=\frac{1}{x+1} .\end{aligned} \)

Letzteres ist natürlich eine stetige Funktion auf \( (0,1) \) (insofern du schon weisst, dass \( \frac{1}{x} \) eine stetige Funktion auf \( (0,1) \) ist. Wenn nicht, musst du dies noch zeigen).