Bestimmen Sie die absoluten Extrema der Funktion f: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R} mit

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie die absoluten Extrema der Funktion \( f: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R} \) mit
\( f(x, y, z)=x^{2}+xz-y^{2}+z^{2} \)
unter der Nebenbedingung
\( x^{2}+y^{2}+z^{2}=1 . \)

Ansatz:

Mein Ansatz wäre jetzt:

- Die Hilfsfunktion aufzustellen mit f(x,y,z) - λ*g(x,y,z) (ist hier - oder + richtig?)

also: \( H(x,y,z) = x^{2}+xz-y^{2}+z^{2} - λ(x^{2}+y^{2}+z^{2}-1) \)

- Partielle Ableitungen aufstellen für Hx, Hy, Hz und Hλ

\( \frac {∂H}{∂x} = 2x+z-2λx \)

\( \frac {∂H}{∂y} = 2y-2λy \)

\( \frac {∂H}{∂z} = x+2z-2λz \)

\( \frac {∂H}{∂λ} = -(x^{2}+y^{2}+z^{2}-1) \)

- notwendige Bedingung für kritische Punkte, also ∇H = 0

- vermutlich Fallunterscheidungen ?

ist das soweit richtig, weil irgendwie komme ich nicht weiter?

Answer 1

Leine Lagrangefunktion/Hilfsfunktion H ist richtig.

Die partiellen Ableitungen müssen Null sein

2·x + y - 2·k·x = 0
x - 2·y - 2·k·y = 0
2·z - 2·k·z = 0
- x^2 - y^2 - z^2 + 1 = 0

Hab ich da Fehler gemacht oder du?

Comments

Ich habe jetzt nur Vorzeichen Fehler gefunden und bin am Ende auf

d/dx = z-2x(λ-1)

d/dy = 2y(λ-1)

d/dx = 2z(λ+1)+x

d/dλ = -x^2-y^2-z^2+1

gekommen.

Alles Null gesetzt und für d/dy für λ=1 und y=0 rausbekommen und weiter?