Rekursive Funktionenfolge cos(cos(...cos(x)))

Question

Ich sitze nun seid einigen Stunden an der Aufgabe und komme nicht so recht vorran, mein erster Ansatz war, dass man mit vollständiger Induktion versuchen könnte daran zu gehen, allerdings weiß ich nicht so recht, wie man im Induktionsschritt dann die voraussetzung einsetzten könnte.

Auch leuchtet mir nicht spontan ein, wie mir der Mittelwertsatz und pi > 3 bei der Aufgabe helfen könnte. Das die rekursive Folge konvergiert ist mir intuitiv klar, weiß aber nicht, vie ich das formal zeigen kann in dem Fall. Für einen Ansatz wie ich hier weiter vorgehen kann, wäre ich sehr dankbar.

Answer 1

Hallo,

zunächst gilt \(\forall n >0: \forall x \in \mathbb{R}: f_n(x) \in [-1,1]\), weil sie all im Bild unter der cos-Funktion liegen.

Daraus folgt zunächst, dass \(|f_2(x)-f_1(x)| \leq 2\) ist, weil beide Werte in diesem Intervall liegen.

Für das weitere gilt mit dem Mittelwertsatz:

$$|f_{n+1}(x)-f_n(x)|=|\cos(f_n(x))-\cos(f_{n-1}(x))|$$$$=|\sin(\xi)|f_|{n}(x)-f_{n-1}(x)| \leq \sin(\frac{\pi}{3})|f_|{n}(x)-f_{n-1}(x)|$$

Denn es ist \(\xi \in [-1,1] \sub [-\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{3}]\)

Gruß Mathhilf