Zusammenspiel zweier Orthonormalbasen

Question

Aufgabe:

Es sei V ein zweidimensionaler euklidischer Vektorraum mit Skalarprodukt [⋅,⋅].
Darüber hinaus seien E = (e1,e2) und F = (f1,f2) zwei (geordnete) Orthonormalbasen von V.
Für einen Vektor v∈V gelte v = α1e1 + α2e2 = β1f1+β2f2 für gewisse α1,α2,β1,β2∈R.
Wählen Sie für jede der folgenden Gleichungen beziehungsweise Ungleichungen, ob diese gültig oder ungültig ist.

1. α1^2 + α2^2 = β1^2 + β2^2
2. [e1,f1] = [e2,f2]
3. |αi| ≤ |v| für i∈{1,2}
4. αi = [ei,v] und βi = [fi,v] für i∈{1,2}

Answer 1

Hallo

1) bilde  (α1e1 + α2e2)^2 denke daran <e1,e2>=0 dasselbe mit der rechten Seite.

2) v = α1e1 + α2e2 bilden ein rechtwinkliges Dreieck v Hypotenuse

3)  die fi sind gegenüber den ei gedreht, d.h, der jeweilige Winkel ist gleich,

4) sollte klar sein skalarprodukt gibt die Komponente des Vektors v in Richtung ei

Gruß lul