Aloha :)
Ich schreibe im Folgenden kurz \(\mathbf M\) an Stelle von \(M_{B,B}(f)\). Zur Berechenung von \(M^{2021}\) transformieren wir die Matrix zunächst auf Diagonalgestalt. Dazu brauchen wir ihre Eigenwerte \(\lambda_1\) und \(\lambda_2\) sowie die zugehörigen Eigenvektoren \(\vec x_1\) und \(\vec x_2\).
Die Determinante einer Matrix ist gleich dem Produkt der Eigenwerte und die Spur einer Matrix ist gleich der Summe der Eigenwerte. Daher ist:$$\lambda_1\cdot\lambda_2=2\quad;\quad\lambda_1+\lambda_2=3\quad\implies\quad\lambda_1=1\quad;\quad\lambda_2=2$$
Die zugehörigen Eigenvektoren sind:
$$\mathbf M\vec x_1=\lambda_1\vec x_1\implies \left(\mathbf M-\lambda_1\cdot\mathbf 1\right)\vec x_1=\vec 0\implies\left(\begin{array}{rr}-2 & 1\\-6 & 3\end{array}\right)\vec x_1=\vec 0\implies\vec x_1=\binom{1}{2}$$$$\mathbf M\vec x_2=\lambda_2\vec x_2\implies \left(\mathbf M-\lambda_2\cdot\mathbf 1\right)\vec x_2=\vec 0\implies\left(\begin{array}{rr}-3 & 1\\-6 & 2\end{array}\right)\vec x_2=\vec 0\implies\vec x_2=\binom{1}{3}$$
Mit den Eigenvektoren können wir eine invertierbare Matrix \(\mathbf S\) definieren$$\mathbf S\coloneqq\left(\begin{array}{rr}1 & 1\\2 & 3\end{array}\right)\quad;\quad \mathbf S^{-1}=\left(\begin{array}{rr}3 & -1\\-2 & 1\end{array}\right)$$mit der wundervollen Eigenschaft, dass:$$\mathbf S^{-1}\cdot\mathbf M\cdot\mathbf S=\begin{pmatrix}1 & 0\\0 & 2\end{pmatrix}$$
Diese Gleichung können wir nach \(\mathbf M\) umstellen:$$\mathbf M=\mathbf S\cdot\begin{pmatrix}1 & 0\\0 & 2\end{pmatrix}\cdot \mathbf S^{-1}$$und nun die Potenzen von \(\mathbf M\) schnell angeben. Damit du die Idee verstehst, schau dir bitte mal die ersten Potenzen an:
$$\mathbf M^2=\mathbf S\cdot\begin{pmatrix}1 & 0\\0 & 2\end{pmatrix}\cdot\underbrace{\mathbf S^{-1}\cdot\mathbf S}_{=\mathbf 1}\cdot\begin{pmatrix}1 & 0\\0 & 2\end{pmatrix}\cdot \mathbf S^{-1}=\mathbf S\cdot\begin{pmatrix}1 & 0\\0 & 2\end{pmatrix}^2\cdot \mathbf S^{-1}$$$$\mathbf M^3=\mathbf M^2\cdot\mathbf M=\mathbf S\cdot\begin{pmatrix}1 & 0\\0 & 2\end{pmatrix}^2\cdot\underbrace{\mathbf S^{-1}\cdot\mathbf S}_{=\mathbf 1}\cdot\begin{pmatrix}1 & 0\\0 & 2\end{pmatrix}\cdot \mathbf S^{-1}=\mathbf S\cdot\begin{pmatrix}1 & 0\\0 & 2\end{pmatrix}^3\cdot \mathbf S^{-1}$$$$\mathbf M^4=\mathbf M^3\cdot\mathbf M=\mathbf S\cdot\begin{pmatrix}1 & 0\\0 & 2\end{pmatrix}^3\cdot\underbrace{\mathbf S^{-1}\cdot\mathbf S}_{=\mathbf 1}\cdot\begin{pmatrix}1 & 0\\0 & 2\end{pmatrix}\cdot \mathbf S^{-1}=\mathbf S\cdot\begin{pmatrix}1 & 0\\0 & 2\end{pmatrix}^4\cdot \mathbf S^{-1}$$
Langer Rede kurzer Sinn:
$$\mathbf M^{2021}=\mathbf S\cdot\begin{pmatrix}1 & 0\\0 & 2\end{pmatrix}^{2021}\cdot \mathbf S^{-1}=\mathbf S\cdot\begin{pmatrix}1^{2021} & 0\\0 & 2^{2021}\end{pmatrix}\cdot \mathbf S^{-1}$$$$\mathbf M^{2021}=\left(\begin{array}{rr}3-2\cdot2^{2021} & 2^{2021}-1\\6-6\cdot2^{2021} & 3\cdot2^{2021}-2\end{array}\right)$$
