Struktur linearer Räume Beweis

Question

Ich soll verschiedene Strukturen darauf prüfen, ob sie lineare Räume sind:

1.

Der Grundbereich ist die Menge S aller surjektiven Funktionen von R nach R, also

S = {f :R→R | f ist surjektiv}. Addition und Multiplikation seien wie folgt definiert:

f+g:R→R, x→f(x)+g(x),

αf:R→R, x→αf(x).

2.

Der Grundbereich ist die Menge G aller gerade Funktionen von R nach R, also
G = {f :R→R | f(x) = f(-x)}. Addition und Multiplikation sind wie oben definiert.

3.

Der Grundbereich ist die Menge F aller Folgen bei denen jedes gerade Folgenglied 0 ist, also
F = {(an) ∈ R^N | (an) = (0,a1,0,a3,0,a5,...) mit a1,a3,a5,... ∈ R}.

Die Addition und Mulitplikation sei wie folgt definiert:

(an)_n + (bn)_n = (an + bn)_n

α(an)_n = (α an)_n.

Kann mir jemand bei den Beweisen helfen?

Vielen Dank!

Answer 1

Die Menge aller Funktionen \(\mathbb{R}\to\mathbb{R}\)  ist ein linearer Raum.

Die Menge aller Funktionen \(\mathbb{N}\to\mathbb{R}\)  ist ein linearer Raum.

Multiplikation mit Skalaren und Addition in diesen linearen Räumen sind so definiert, wie das in 1. und 3. geschehen ist.

Um zu prüfen ob es sich bei S, G und F um lineare Räume handelt, brauchst du deshalb nur zu prüfen:

N) Hat die Menge ein neutrales Element bezüglich der Addition?

A) Ist die Menge abgeschlossen bezüglich der Addition?

M) Ist die Menge abgeschlossen bezüglich der Multiplikation mit Skalaren?

S verstößt gegen N). F und G sind lineare Räume.