Finden Sie eine Matrix A ∈ C2×2

Question

Aufgabe:

Geben Sie jeweils ein Beispiel an oder begründen Sie, warum es kein Beispiel gibt:

(b) Finden Sie eine Matrix A ∈ C2×2
, deren charakteristisches Polynom χA(x) = (x − 1)(x − 2), für
x ∈ R, ist.

Problem/Ansatz:

Mein Ansatz ist hierbei dass kein Bsp möglich ist, da die Definition eines charakteristischen Polynom ja det(A - x I) ist.

jedoch stellt sich mich die Frage ob es eine negative Einheitsmatrix gibt sprich z.B. [-1 0 0 -1], weshalb ich das Beispiel:

det([-1 0 4 -2] - x*[-1 0 0 -1]) hergestellt habe

Answer 1

Es ist \((x-a)(x-b) = (a-x)(b-x)\) für alle \(a,b,x \in \mathbb{C}\).

Die Matrix \(\begin{pmatrix}a&0\\0&b\end{pmatrix}\) hat \((a-x)(b-x)\) als charakteristisches Polynom.

Comments

Also um, dass klar zu stellen das hab ich schon im Lösungsansatz und außerdem musst das Polynom (x-1)(x-2) sein dass musstes du nicht als Antwort kommentieren trotzdem danke. Mein Frage besteht jedoch darauf ob es eine negative Einheitsmatrix gibt sprich

-I bzw. [-1 0 0 -1] da die Definition ja für ein charakteristischen Polynom ja

det (A - x*I) ist

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außerdem musst das Polynom (x-1)(x-2) sein

Das Polynom (x-1)(x-2) ist das gleiche Polynom wie das Polynom (1-x)(2-x).

ob es eine negative Einheitsmatrix gibt

Die Matrix \(\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}\) gibt es.

Die Matrix ist weder negativ, weil Matrizen nicht in positive und negative Matrizen unterteilt werden, noch ist sie eine Einheitsmatrix, weil sie auf der Hauptdiagonalen keine Einsen enthält.

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also würde es bei der Aufgabe ein Beispiel nicht möglich, da ja die Definition

det(A - xI) ist und nicht det(A + xI)?

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Es ist \((x-a)(x-b) = (a-x)(b-x)\) für alle \(a,b,x \in \mathbb{C}\).
Die Matrix \(\begin{pmatrix}a&0\\0&b\end{pmatrix}\) hat \((a-x)(b-x)\) als charakteristisches Polynom.

Schlussfolgerung aus diesen beiden Aussagen ist:

        Die Matrix \(\begin{pmatrix}a&0\\0&b\end{pmatrix}\) hat
                \((x-a)(x-b)\)
        als charakteristisches Polynom.

Einsetzen von \(a = 1\) und \(b = 2\) ergibt

      Die Matrix \(\begin{pmatrix}1&0\\0&2\end{pmatrix}\) hat
              \((x-1)(x-2)\)
      als charakteristisches Polynom.