Hallo,
Den Plot hast Du
~plot~ sqrt(2x+6);-sqrt(2x+6);1-x;[[-5|7|-5|3]] ~plot~
Das Gebiet \(D\) ist die Fläche, die zwischen dem blauen und roten Parabelästen und der grünen Gerade eingeschlossen ist
Du kannst zuerst nach \(x\) oder zuerst nach \(y\) ableiten, das ist egal. Wenn man mit \(y\) beginnt, läuft \(y\) über das gesamte Gebiet \(D\) also von \(y=-4\) bis \(y=2\). Wenn man sich anschließend einen beliebigen Y-Wert anschaut ...
~plot~ sqrt(2x+6);-sqrt(2x+6);1-x;[[-5|7|-5|3]];-1 ~plot~
... so wie hier bei der lila Waagerechten zu sehen, dann läuft \(x\) von der Parabel \(x= \frac12y^2 - 3\) zur grünen Geraden \(x=1-y\). Also$$\int\limits_{D} xy\,\text d(x,\,y)= \int\limits_{y=-4}^{2} \quad\int\limits_{x=\frac12y^2 - 3}^{1-y} xy\, \text dx\, \text dy$$Gruß Werner