Macht man das anhand der Skizze bzw des Graphen?

Question

Aufgabe:

Problem/Ansatz:

Text erkannt:

Aufgabe 33 (Pflichtaufgabe)
a) Wir betrachten das Gebiet \( D \subset \mathbb{R}^{2} \), das durch die Gerade \( y=1-x \) und die Parabel \( y^{2}=2 x+6 \) eingeschlossen wird.
i) Skizzieren Sie das Gebiet und stellen Sie \( D \) jeweils als schlichtes Gebiet über der \( x \) -Achse und über der \( y \) -Achse dar.
ii) Berechnen Sie mit Hilfe Ihrer Darstellungen aus i) das Integral
$$ \int \limits_{D} x y d(x, y) $$
indem Sie zuerst \( \mathrm{n} \) ach \( x \) integrieren.
iii) Berechnen Sie mit Hilfe Ihrer Darstellungen aus i) das Integral aus ii), indem Sie zuerst nach \( y \) integrieren.

Hallo ich hoffe ihr könnt helfen.
ich habe folgende Probleme:
in teil i) die Skizze anzufertigen habe ich noch hinbekommen das stellte kein problem dar, jedoch bin ich mir leicht unsicher welches gebiet sich da eingrenzt aber das ist nicht das größte problem.
Ich habe eher ein problem die integrationsgrenzen fest zu machen.
Macht man das anhand der Skizze bzw. des Graphen? oder durch gleichsetzen der beiden terme, wobei ich y^2 = 2x+6 erstmal umformen würde zu y = sqrt(2x+6)?
Das Integral kann ich dann selbst berechnen das wäre kein Problem.
Kleine Frage zur iii) hier soll doch Fubini angewandt werden oder?
Hoffe ihr könnt helfen danke im voraus!

Answer 1

Hallo,

Den Plot hast Du

~plot~ sqrt(2x+6);-sqrt(2x+6);1-x;[[-5|7|-5|3]] ~plot~

Das Gebiet \(D\) ist die Fläche, die zwischen dem blauen und roten Parabelästen und der grünen Gerade eingeschlossen ist

Du kannst zuerst nach \(x\) oder zuerst nach \(y\) ableiten, das ist egal. Wenn man mit \(y\) beginnt, läuft \(y\) über das gesamte Gebiet \(D\) also von \(y=-4\) bis \(y=2\). Wenn man sich anschließend einen beliebigen Y-Wert anschaut ...

~plot~ sqrt(2x+6);-sqrt(2x+6);1-x;[[-5|7|-5|3]];-1 ~plot~

... so wie hier bei der lila Waagerechten zu sehen, dann läuft \(x\) von der Parabel \(x= \frac12y^2 - 3\) zur grünen Geraden \(x=1-y\). Also$$\int\limits_{D} xy\,\text d(x,\,y)= \int\limits_{y=-4}^{2} \quad\int\limits_{x=\frac12y^2 - 3}^{1-y} xy\, \text dx\, \text dy$$Gruß Werner

Answer 2

Hallo

das Gebiet liegt ja zwischen der Parabel und der Geraden. da die Parabel kein funktion ist musst du wie ja gesagt in das Gebiet oberhalb der x- Achse und unterhalb unterteilen.

die Grenzen finden du dann direkt in der Graphik bzw, durch schneiden der 2 Objekte und schneiden mit der x- Achse  und y-Achse.

Gruß lul