Zu bestimmen: Kleinstmöglicher Wert für n + Werte für Parameter a u. b

Question

Hallo, ich komme bei untenstehender Aufgabe nicht weiter, das Oberthema ist "Funktionsbestimmungen". Ich hoffe jemand kann mir helfen.

Hier die Aufgabe:

Der Graph der Funktion f(x) = ln(a+bx^n) mit a, b > 0 und n Element von den natürlichen Zahlen soll symmetrisch bezüglich der y-Achse sein, durch den Ursprung gehen und an der Stelle x=1 die Steigung 2/3 haben. Bestimmen Sie zunächst den kleinsten für n möglichen Wert, sodann die Werte für die Parameter a und b. Zeichnen Sie den Graphen der gefundenen Funktion.

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

$$f(x)=\ln\left(a+bx^n\right)\quad;\quad a,b>0\quad;\quad n\in\mathbb N$$

1) Der Graph ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse:$$f(-x)=f(x)\implies\ln\left(a+b(-x)^n\right)=\ln\left(a+bx^n\right)\implies a+b(-x)^n=a+bx^n$$$$\implies(-x)^n=x^n\implies\text{\(n\) gerade}\implies n=2\quad(\text{kleinst-mögliches \(n\)}).$$

2) Der Graph soll durch den Ursprung gehen:$$0\stackrel!=f(0)=\ln(a+b\cdot0)=\ln(a)\implies a=1$$

3) An der Stelle \(x=1\) beträgt die Steigung \(\frac{2}{3}\):$$\frac{2}{3}=f'(1)=\left.\frac{nbx^{n-1}}{a+bx^n}\right|_{x=1}=\frac{nb}{a+b}=\frac{2b}{1+b}\implies\frac{1}{3}=\frac{b}{1+b}\implies b=\frac{1}{2}$$

Damit lautet die gesuchte Funktion:$$f(x)=\ln\left(1+\frac{x^2}{2}\right)$$

~plot~ ln(1+x^2/2) ; ln(3/2)+2/3(x-1) ; {1|ln(3/2)} ; [[-6|6|-1|3]] ~plot~

Comments

Vielen vielen Dank! So scheint es gleich ein wenig einfacher

Allerdings hätte ich noch eine Frage zu der 3): Hier verstehe ich nicht wirklich wie man auf das kommt, was hinter dem Folge Pfeil steht.. Also das 1/3 usw.

Und noch eine Verständnisfrage zu der finalen Funktion: Wäre sie auch richtig, wenn ich, anstelle von dem Bruch in der Klammer, sie so schreiben würde: f(x) = ln ( 1 + 1/2x²) ?

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1) Vor dem Folgerungspfeil steht doch eine Gleichungskette:$$\frac{2}{3}=\cdots=\frac{2b}{1+b}$$Wenn man nun beide Seiten durch \(2\) dividiert, kommt raus:$$\frac13=\frac{b}{1+b}$$

2) Ja, im Ergebnis kannst du auch schreiben:$$f(x)=\ln\left(1+\frac{1}{2}x^2\right)$$