Ganzrationale Funktion? Kleinstmöglicher Grad usw.

Question

Wie gibt man den kleinstmöglichen Grad eines ganzratinalen Graphes an?

Besteht eine Funktionsgleichung aus nur aus variablen oder aus Zahlen, also wenn verlangt wird gib die Funktionsgleichung an die zu diesem Graphen passt muss ich da dann wenn es eine Ganzratinale zweiten grades ist ax^2+bx+c hinschreiben oder müsste ich Punkte einsetzten und die variablen mit gleichungssystemen lösen?

Wie untersuche ich anhand einer Funktion die Nullstellen,Achsenabschnitt und das Verhalten für x in unendlich?

Answer 1

Wie gibt man den kleinstmöglichen Grad eines ganzratinalen Graphen an?

Schreib einfach der Grad ist 1, oder 2 oder 3 oder 4 ....  fertig.

gib die Funktionsgleichung an die zu diesem Graphen passt

Da kannst du auch z.B. f(x) = -(x-2)^2 + 7 hinschreiben, wenn du den Scheitelpunkt ablesen kannst und der Graph zu deiner Schablone für Normalparabeln passt.

Schau zuerst den Graphen genau an und wähle dann einen Ansatz, mit möglichst wenig Unbekannten.

Danach kannst du immern noch weitere Punkte ablesen und die Unbekannten bestimmen.

Der Ansatz kann auch f(x) = a (x-3)^3 + 7 sein, wenn du dich mit Graphen von Polynonomen 3. Grades gut auskennst.

Comments

Vielen Dank

Also wenn ich es richtig verstanden habe dann meinst du wohl dass eine Funktionsgleichung nur mit Zahlen angegeben werden kann und nicht nur mit variablen?

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Wenn du einen Graphen vor dir hast, musst du am Schluss Zahlen da haben. Die Variabeln sollten im Laufe des Rechenwegs alle verschwinden.

Answer 2

Du hast also einen Graph gegeben.
Nun willst du die Funktion dafür ermitteln.
Dann sucht man sich charakteristische Punkte
heraus : Schnittpunkte mit der x-Achse, Schnittpunkt
mit der y-Achse, Hoch-,Tief- , Sattel und Wendepunkte.
Damit kann man schon etwas anfangen.

Ich hoffe ich habe deine Frage richtig verstanden.

Ist der Funktionsterm ermittelt kann eine
Kurvendiskussion erfolgen.

Ansonsten stelle einmal einen Graph als Skizze oder
Foto ein.

Comments

Danke sehr aber weißt du vielleicht wie ich wie ich das Verhalten für x in unendlich angebe?

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lim x −> ∞ [ f ( ∞ ) ]
Was als Ergebnis herauskommt kommt
auf " f " an.

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Ok danke

Und besteht eine Funktionsgleichung nur aus variablen oder muss man die variablen auflösen also wenn die Aufgabenstellung wäre „Gib die Funktionsgleichung zu dieser Funktion an, die zum Graphen passen würde.Begründe deine Wahl mit Rechnung oder Argumenten.“

Müsste ich dann nur mit Variablen eine aufschreiben und argumentieren warum die passt bsp quadratische oder müsste ich mit gleichungssystemen a,b,c auflösen ?

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Funktionstypen
f (x ) = x
f ( x ) = 2 * x
f ( x ) = a * x + b
f ( x ) = a * x^2 + b * x
f ( x ) = 3 * x^2 + 2 * x + 7

Dein erster Schritt ist doch aus einem gegebenen
Graph die Funktionsgleichung zu ermitteln.

Willst du nicht einmal einen Graph einstellen ?

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Ich hab leider kein Beispiel nur Aufgabenstellungen

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Hier ein Graph.
Es geht um die gewundene Kurve.
Welche charakteristischen
Punkte kannst du erkennen ?

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Es hat zwei extrempunkte unswar einmal bei (0/1) &((2/-3) also es ist eine Funktion dritten Grades.Es besitzt einen Wendepunkt.

Also die Funktionsgleichung wäre a*x^3+bx^2+cx+d

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f ´ ( 0 ) = 0
f ´( 2 ) = 0
und
f ( 0 ) = 1
f ( 2 ) = - 3

geht gleich weiter.

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Die Lösung siehe hier

https://www.mathelounge.de/535002/funktiongleichung-bestimmen-punkte-p-und-t-bekannt

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Du wirst dir wahrscheinlich denken was ich daran nicht verstehe aber ich kann es nicht ändern.

Ich hab echt ein Problem mit der Aufgabenstellung „Stelle eine Funktionsgleichung auf die zum Graphen passt“. Wenn es eine Ganzrationale Funktion dritten Grades oder so ist ich weiß einfach nicht wie ich vorgehen soll also ich hab Punkte wie (2/-3)&(0/1)&(1/-1) und wo soll ich die in dieser Gleichung einsetzten

ax^3+bx^2+cx+d

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f ( 0 ) = 1
f ( 2 ) = - 3
f ´ ( 0 ) = 0
f ´( 2 ) = 0

f ( x ) = a * x^3 + b * x^2 + c * x + d
f ´( x ) = 3a * x^2 + 2b*x + c

Einsetzen
f ( 0 ) = 1
f ( x ) = a * x^3 + b * x^2 + c * x + d
f ( 0 ) = a * 0 ^3 + b * 0 ^2 + c * 0 + d = 1
d = 1
So funktioniert das Einsetzen.

Dies mit den weiteren Aussagen durchführen
f ( 2 ) = - 3
f ´ ( 0 ) = 0

f ´( 2 ) = 0
f ´( 2 ) = 3a * 2 ^2 + 2b*2 + c = 0
12a + 4b + c = 0

Dann erhältst du 4 Gleichungen mit
4 Unbekannten

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Die Lösung ist im Link schon komplett
angegeben.

f ( x ) = a * x^3 + b * x^2 + c * x + d
f ´ ( x ) = 3a * x^2 + 2b * x + c

Aussagen
f ( 0 ) = 1
f ( 2 ) = -3
f ´ ( 0 ) = 0
f ´ ( 2 ) = 0

Einsetzen
f ( 0 ) = a * 0 ^3 + b * 0 ^2 + 0 * x + d = 1
=> d = 1
f ( 2 ) = a * 2 ^3 + b * 2 ^2 + c * 2 + 1 = -3
8a  + 4b  + 2c + 1 = -3

f ´( 0 ) = 3a * 0 ^2 + 2b * 0 + c = 0
=> c = 0
f ( 2 ) = 3a *  2 ^2 + 2b * 2 + 0 = 0
12a + 4b = 0

8a  + 4b  + 0 + 1 = -3
12a + 4b = 0 | abziehen
----------------
-4a = -4
a = 1

12a + 4b = 0
12 + 4b = 0
b = -3

f ( x ) = x^3 -3x^2 + 1

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Ich glaube ich hab es einigermaßen verstanden aber es ist eine andere frage ob ich es anwenden kann an einem anderen Graphen.

Morgen ist meine Arbeit hoffe einfach dass ich es schaffe.

Vielen Dank, dass du dir soviel mühe für moch gegeben hast das ist nicht selbstverständloch für mich.

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Viel Glück für deine Arbeit.
Du solltest beim nächsten Mal aber einfach
früher anfragen.