Aussagenlogik - Wer hat die Bank überfallen? 3 Variable

Question

Aufgabe:

Es wurde eine Bank überfallen und alle Holzlatten entfernt. Nun stehen nur noch zwei Steine im Stadtpark. Drei Gauner X, Y und Z kommen als Täter in Frage - entweder einer alleine oder mehrere zusammen. Folgende Aussagen sind der Polizei bekannt:
• Wenn X unschuldig ist, dann ist Y schuldig.
• Wenn Y unschuldig ist, dann sind sowohl X als auch Z schuldig.
Die Polizei kennt ihre Informanten und weiß deshalb, dass die erste Aussage wahr ist, die zweite jedoch falsch.
Wer hat die Bank überfallen?

Problem/Ansatz:

Ich tu mir ein bisschen schwer mit der Aussagelogik und habe versucht das zu vereinfachen:

Regel:
1. A ⇒ B = ¬A ∨ B

(¬X ⇒ Y) ∧ (¬(¬Y ⇒ (X ∧ Z)))

Umgeschrieben nach Regel 1:

(X ∨ Y) ∧ (¬ (Y ∨ (X ∧ Z)))

(X ∨ Y) ∧ (¬Y ∧ ¬X ∨ ¬Z)

Ausmultiplizieren:

X¬Y ∧ 0 ∨ X¬Z ∨ 0 ∧ ¬XY ∨ Y¬Z

X¬Y ∨ X¬Z ∧ ¬XY ∨ Y¬Z

Ausklammern:

X (¬Y ∨ ¬Z) ∧ Y (¬X ∨ ¬Z)

Aber ich komme nicht mehr weiter.

Ich weiß nicht mal, ob mein Ansatz richtig ist.

Eventuell mit einer Wahrheitstabelle?

Comments

Unter Banküberfall verstehe ich aber etwas anderes als Holzlatten klauen im Park. Es braucht beim richtigen Banküberfall typischerweise drei Leute: Der der den Sack aufhält, der mit der Schrotflinte, und der Fahrer des Fluchtfahrzeugs. Es sind also alle verdächtig.

Answer 1

(¬X ⇒ Y) ∧ (¬(¬Y ⇒ (X ∧ Z)))

Stimmt so. Jetzt Wahrheitstabelle.

Oder ...

(X ∨ Y) ∧ (¬ (Y ∨ (X ∧ Z)))

Stimmt so. Jetzt Wahrheitstabelle.

(X ∨ Y) ∧ (¬Y ∧ ¬X ∨ ¬Z)

Laut der Vorrangregeln, die ich kenne, stimmt das jetzt nicht mehr.

Comments

Hey danke!

Das Problem ist, dass ich mit der Wahrheitstabelle überhaupt nicht klarkomme, sobald da 3 Variablen sind...

Laut Rechner kam das hier raus

X Y Z  │  (X ∨ Y) ∧ ¬(Y ∨ (X ∧ Z))
───────┼──────────────────────────
1 1 1  │  0
1 1 0  │  0
1 0 1  │  0
1 0 0  │  1
0 1 1  │  0
0 1 0  │  0
0 0 1  │  0
0 0 0  │  0

aber ich weiß nicht wie man darauf kommt oder wie man das lesen soll...

Ist jetzt X der Täter?

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Zwischenergebnis würde so aussehen oder?

Linke Seite:

X Y │  X ∨ Y
─────┼───────
1 1  │  1
1 0  │  1
0 1  │  1
0 0  │  0

Rechte Seite:

X Y Z │  ¬(Y ∨ (X ∧ Z))
───────┼────────────────
1 1 1  │  0
1 1 0  │  0
1 0 1  │  0
1 0 0  │  1
0 1 1  │  0
0 1 0  │  0
0 0 1  │  1
0 0 0  │  1

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Ist jetzt X der Täter?

ja. Außerdem sind Y und Z nicht die Täter

Vollständige Wahrheitstabelle

X	Y	Z	F1 := X ∨ Y	F2 := X ∧ Z	F3 := Y ∨ F2	F4 := ¬F3	F1 ∧ F4
0	0	0	0	0	0	1	0
0	0	1	0	0	0	1	0
0	1	0	1	0	1	0	0
0	1	1	1	0	1	0	0
1	0	0	1	0	0	1	1
1	0	1	1	1	1	0	0
1	1	0	1	0	1	0	0
1	1	1	1	1	1	0	0

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Danke, aber wie lese ich die Wahrheitstabelle genau? Wie sehe ich aus der Tabelle, dass X der Täter ist und Y und Z nicht? Ist das die 6. Zeile?

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Okay, ich konnte es nachvollziehen! Danke vielmals!!