Aufstellen von Zylinderkoordinaten

Question

Aufgabe:

$$Aus dem Zylinder Z={(x,y,z) ∈ \mathbb{R^3} : x^2+y^2<1} $$wird durch die x-y-Ebene als untere und den Paraboloid $$F={(x,y,z) ∈ \mathbb{R^3} : z=4-x^2-y^2} als obere Grenzen ein Körper K $$herausgeschnitten. Die Massenverteilung des Körpers ist gegeben durch $$p : K\rightarrow \mathbb{R}, p(x,x,z)=\sqrt{x^2+y^2}.$$

a) Stellen Sie K in Zylinderkoordinaten dar.

b) Berechnen sie die Masse von K.

c) Berechnen Sie den Schwerpunkt von K.

Ich habe keine Idee wie ich diese lösen soll.

Answer 1

Hallo

x=rcos(t)

y=rsin(t) z=z

0<t<=2pi

Zylinder 0< r<1.  0<=z < 3  darüber Paraboloid z=4-r^2

dann das 3 Fachintegral in den Grenzen.( Paraboloid mit Kegel schneiden.) die schneiden sich in dem Kreis bei z=3

Gruß lul

Comments

Ich habe die gleiche Aufgabe, aber mir hilft das leider nicht weiter. Das man auf Cos und Sin kommen muss für einen Kreis ist ja logisch aber wie komme ich darauf? Und dann schneiden wir den Zylinder auf z so mit dem Paraboloid ab, dass K etwa so aussieht wie ein amerikanisches Getreidesilo, also Oben Halbkugelförmig ?

Mir fehlen da so einige Rechenwege :/

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ich habe eine Antwort hinzu gefügt

Answer 2

Hallo,

Ich habe die gleiche Aufgabe, aber mir hilft das leider nicht weiter.

Für die Zylinderkoordinaten gilt allgemein; mit \(\varphi\) als Winkel in der Horizontalen$$x = r \cos \varphi\\ y = r \sin \varphi \\ z = z $$damit natürlich auch \(r = \sqrt{x^2+y^2}\)

a) Stellen Sie K in Zylinderkoordinaten dar.

$$\begin{aligned} &x^2+y^2 \lt 1 && \to r \lt 1 \\ &z \ge 0\\&z \le 4 - (x^2+y^2) &&\to z \le 4 - r^2\\ &p(x,y,z) = \sqrt{x^2+y^2}&&\to p(\varphi,r,z) = r \end{aligned}$$

b) Berechnen sie die Masse von K.

Das \(p\) ist die spezifische Masse, also Masse pro Volumen. Demnach ist die Gesamtmasse \(M\)$$ M = \int_{K}p\,\text dV$$Da oben so ziemlich alles von \(r\) abhängt, wähle ich als \(\text dV\) einen infinitisimal dünnen zylindrischen Aussscnitt, bei dem überall das \(r\) konstant ist. Dann ist$$\text dV = 2\pi r z \,\text dr = 2\pi r(4-r^2)\, \text dr$$Daraus folgt$$M = \int_{r=0}^{1} p(r) \cdot 2\pi r(4-r^2)\, \text dr \\\phantom{M}= \int_{r=0}^{1} 2\pi r^2(4-r^2)\, \text dr\\\phantom{M}= 2\pi \left[\frac 43 r^3 - \frac 15r^5\right]_{r=0}^1 = \frac {34}{15} \pi$$

c) Berechnen Sie den Schwerpunkt von K.

Da \(K\) rotationssymmetrisch ist, liegt der Schwerpunkt auf der Z-Achse. Wir brauchen also nur den Wert für \(z_s\) bestimmen. Allgemein gilt $$z_s = \frac 1{M} \int z\,\text dm = \frac 1M \int z \cdot p\,\text dV$$Mein erster Gedanke war hier, die Teilung jetzt horizontal vorzunehmen. Aber ich glaube, es ist geschickter, wie oben die dünnen Zylinder zu betrachten, d.h. vertikal zu teilen. Das \(2\pi r\,\text dz\,\text dr\) ist wieder das \(\text dV\).$$z_s = \frac 1M \int_{r=0}^{1} \left( \int_{z=0}^{4-r^2} z \cdot p(r) \cdot 2\pi r \,\text dz\right) \,\text dr \\\phantom{z_s} = \frac {2\pi}M \int_{r=0}^1 \left[ \frac 12z^2 r^2 \right]_{z=0}^{4-r^2}\,\text dr \\\phantom{z_s} = \frac {\pi}M \int_{r=0}^1(4-r^2)^2 r^2 \,\text dr \\\phantom{z_s}= \dots \quad \approx 1,71$$... darfst Du alleine ausrechnen. Falls etwas unklar ist frage nochmal nach.

Gruß Werner