Hallo,
Ich habe die gleiche Aufgabe, aber mir hilft das leider nicht weiter.
Für die Zylinderkoordinaten gilt allgemein; mit φ als Winkel in der Horizontalenx=rcosφy=rsinφz=zdamit natürlich auch r=x2+y2
a) Stellen Sie K in Zylinderkoordinaten dar.
x2+y2<1z≥0z≤4−(x2+y2)p(x,y,z)=x2+y2→r<1→z≤4−r2→p(φ,r,z)=r
b) Berechnen sie die Masse von K.
Das p ist die spezifische Masse, also Masse pro Volumen. Demnach ist die Gesamtmasse MM=∫KpdVDa oben so ziemlich alles von r abhängt, wähle ich als dV einen infinitisimal dünnen zylindrischen Aussscnitt, bei dem überall das r konstant ist. Dann istdV=2πrzdr=2πr(4−r2)drDaraus folgtM=∫r=01p(r)⋅2πr(4−r2)drM=∫r=012πr2(4−r2)drM=2π[34r3−51r5]r=01=1534π
c) Berechnen Sie den Schwerpunkt von K.
Da K rotationssymmetrisch ist, liegt der Schwerpunkt auf der Z-Achse. Wir brauchen also nur den Wert für zs bestimmen. Allgemein gilt zs=M1∫zdm=M1∫z⋅pdVMein erster Gedanke war hier, die Teilung jetzt horizontal vorzunehmen. Aber ich glaube, es ist geschickter, wie oben die dünnen Zylinder zu betrachten, d.h. vertikal zu teilen. Das 2πrdzdr ist wieder das dV.zs=M1∫r=01(∫z=04−r2z⋅p(r)⋅2πrdz)drzs=M2π∫r=01[21z2r2]z=04−r2drzs=Mπ∫r=01(4−r2)2r2drzs=…≈1,71... darfst Du alleine ausrechnen. Falls etwas unklar ist frage nochmal nach.
Gruß Werner