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Beispiel 10.5. Sei \( K \) ein zylindrischer Körper mit der Höhe 3 (entlang der \( z \)-Achse ausgerichtet) und der Basis einer Kreisscheibe mit dem Mittelpunkt \( (0,0,0) \) und dem Radius 2. Die Massendichte \( \rho(x, y, z) \) des Körpers sei durch das Quadrat des Abstands des Punktes \( (x, y, z) \) vom Punkt \( (0,2,0) \) gegeben. Berechnen Sie mit Hilfe der Zylinderkoordinaten
\( x=r \cos (\varphi), \quad y=r \sin (\varphi), \quad z=z \)
(a) die Masse \( m \) von \( K \) und
(b) die \( y_{S} \)-Komponente des Massenmittelpunkts (Schwerpunkt) \( \left(x_{S}, y_{S}, z_{S}\right) \) von \( K \).


Problem/Ansatz

Muss die Aufgabe lösen habe aber leider keine Ahnung wie ich dies angehen soll.

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Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Wir brauchen zunächst einen Ortsvektor \(\vec r\), der vom Ursprung ausgehend den zylindrischen Körper \(K\) vollständig abtastet. Der Zylinder steht auf der xy-Ebene mit der z-Achse als Symmetrieachse, hat den Radius \(2\) und die Höhe \(3\). Daher lautet unser Abtastvektor:$$\vec r=\left(\begin{array}{c}r\cos\varphi\\r\sin\varphi\\z\end{array}\right)\quad;\quad r\in[0;2]\;;\;\varphi\in[0;2\pi]\;;\;z\in[0;3]\quad;\quad dV=r\,dr\,d\varphi\,dz$$Beachte, dass das Volumenelement \(dV\) auch in Zylinderkoordinaten angegeben ist.

Die Massendichte \(\rho(x;y;z)\) ist durch das Quadrat des Abstands des Punktes \((x;y;z)\) vom Punkt \((0;2;0)\) gegeben. Das müssen wir erstmal mathematisch formulieren:$$\rho(x;y;z)=\left\|\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\2\\0\end{pmatrix}\right\|^2=\left\|\begin{pmatrix}x\\y-2\\z\end{pmatrix}\right\|^2=x^2+(y-2)^2+z^2$$Da wir jedoch in Zylinderkoordinaten rechnen wollen / sollen, müssen wir \(x\) und \(y\) noch durch \(r\) und \(\varphi\) ersetzen:$$\rho(r;\varphi;z)=(r\cos\varphi)^2+(r\sin\varphi-2)^2+z^2=r^2\cos^2\varphi+(r^2\sin^2\varphi-4r\sin\varphi+4)+z^2$$$$\phantom{\rho(r;\varphi;z)}=r^2(\cos^2\varphi+\sin^2\varphi)-4r\sin\varphi+4+z^2=r^2-4r\sin\varphi+z^2+4$$Nach diesen Vorüberlegungen wenden wir uns den Rechnungen zu...

zu a) Bestimmung der Masse

$$m=\int\limits_V\rho\,dV=\int\limits_{r=0}^2\;\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}\;\int\limits_{z=0}^3(r^2-4r\sin\varphi+z^2+4)\,r\,dr\,d\varphi\,dz$$$$\phantom m=\int\limits_{r=0}^2\;\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}\;\int\limits_{z=0}^3(r^3-4r^2\sin\varphi)\,dr\,d\varphi\,dz+\int\limits_{r=0}^2\;\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}\;\int\limits_{z=0}^3z^2r\,dr\,d\varphi\,dz+\int\limits_{r=0}^2\;\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}\;\int\limits_{z=0}^34r\,dr\,d\varphi\,dz$$$$\phantom m=3\int\limits_{r=0}^2\;\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}(r^3-4r^2\sin\varphi)\,dr\,d\varphi+2\pi\int\limits_{r=0}^2r\,dr\int\limits_{z=0}^3z^2\,dz+2\pi\cdot3\cdot4\int\limits_{r=0}^2r\,dr$$$$\phantom m=3\int\limits_{r=0}^2\left[r^3\varphi+4r^2\cos\varphi\right]_{\varphi=0}^{2\pi}\,dr+2\pi\left[\frac{r^2}{2}\right]_{r=0}^2\cdot\left[\frac{z^3}{3}\right]_{z=0}^3+24\pi\left[\frac{r^2}{2}\right]_{r=0}^2$$$$\phantom m=3\cdot2\pi\int\limits_{r=0}^2r^3\,dr+2\pi\cdot2\cdot9+24\pi\cdot2=6\pi\left[\frac{r^4}{4}\right]_{r=0}^2+36\pi+48\pi=24\pi+84\pi$$$$\phantom{m}=108\pi$$

zu b) Bestimmung der y-Komponente des Schwerpunktes

Da wir uns ja nun schon langsam aufgewärmt haben, kommt nun zum Integranden von Teil a) noch die \(y\)-Koordinate als Faktor hinzu:$$y_s=\frac1m\int\limits_Vy\rho\,dV=\frac{1}{108\pi}\int\limits_{r=0}^2\;\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}\;\int\limits_{z=0}^3r\sin\varphi\cdot(r^2-4r\sin\varphi+z^2+4)\,r\,dr\,d\varphi\,dz$$$$\phantom{y_s}=\frac{1}{108\pi}\int\limits_{r=0}^2\;\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}\;\int\limits_{z=0}^3(r^4\sin\varphi-4r^3\underbrace{\left(\frac12-\frac12\cos(2\varphi)\right)}_{=\sin^2\varphi}+z^2r^2\sin\varphi+4r^2\sin\varphi)\,dr\,d\varphi\,dz$$$$\phantom{y_s}=\frac{1}{108\pi}\int\limits_{r=0}^2\;\int\limits_{z=0}^3\left[-r^4\cos\varphi-4r^3\left(\frac\varphi2-\frac14\sin(2\varphi)\right)-z^2r^2\cos\varphi-4r^2\cos\varphi\right]_{\varphi=0}^{2\pi}\,dr\,dz$$$$\phantom{y_s}=\frac{1}{108\pi}\int\limits_{r=0}^2\;\int\limits_{z=0}^3-4r^3\,\frac{2\pi}{2}\,dr\,dz=\frac{-4\pi}{108\pi}\int\limits_{r=0}^2r^3\,dr\;\int\limits_{z=0}^3dz=-\frac{1}{27}\left[\frac{r^4}{4}\right]_{r=0}^2\cdot3=-\frac49$$

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