Aloha :)
Die Verwendung von Kugelkoordinaten wird in der Aufgabenstellung vorgeschlagen:$$\vec r=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}r\sin\vartheta\cos\varphi\\r\sin\vartheta\sin\varphi\\r\cos\vartheta\end{pmatrix}\quad;\quad dV=dx\,dy\,dz=r^2\sin\vartheta\,dr\,d\vartheta\,d\varphi$$
Die Integrationsgrenzen folgen aus den Randbedingungen:$$1\le x^2+y^2+z^2\le4\implies1\le r^2\le4\implies r\in[1;2]$$$$z^2\ge x^2+y^2=r^2\sin^2\vartheta\stackrel{(z\ge0)}{\implies}z\ge r\sin\vartheta\implies r\cos\vartheta\ge r\sin\vartheta$$$$\implies\frac{r\sin\vartheta}{r\cos\vartheta}\le1\implies\tan\vartheta\le1\implies\vartheta\in\left[0;\frac\pi4\right]$$Für \(\varphi\in[0;2\pi]\) sind keine Einschränkungen vorgegeben.
Damit können wir das Integral für die Volumenberechnung formulieren:$$V=\int\limits_{r=1}^2\;\int\limits_{\vartheta=0}^{\pi/4}\;\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}r^2\sin\vartheta\,dr\,d\vartheta\,d\varphi=\int\limits_{r=1}^2r^2\,dr\int\limits_{\vartheta=0}^{\pi/4}\sin\vartheta\,d\vartheta\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}d\varphi$$$$\phantom{V}=\left[\frac{r^3}{3}\right]_1^2\cdot\left[-\cos\vartheta\right]_0^{\pi/4}\cdot\left[\varphi\right]_0^{2\pi}=\left(\frac83-\frac13\right)\left(-\frac{1}{\sqrt2}+1\right)(2\pi-0)$$$$\phantom V=\frac{14}{3}\pi\left(1-\frac{1}{\sqrt2}\right)$$
