Aloha :)
Willkommen in der Mathelounge... \o/
Du benötigst einen Vektor \(\vec r\), der alle Punkte des Rotationsvolumens abtastet. Wegen der Rotations-Symmetrie um die \(z\)-Achse bieten sich dazu Zylinderkoordinaten an.
$$\vec r=\begin{pmatrix}r\cos\varphi\\r\sin\varphi\\z\end{pmatrix}\;;\;\varphi\in[0;2\pi]\;;\; r\in\left\{\begin{array}{c}\left[0;\sqrt{\frac{z}{2}}\right]&\text{falls \(z\in[0;1]\)}\\[1ex]\left[\sqrt{z-1};\sqrt{\frac{z}{2}}\right]&\text{falls \(z\in[1;2]\)}\end{array}\right.\;;\;z\in[0;2]$$
Mit dem Volumenelement in Zylinderkoordinaten \(dV=r\,dr\,d\varphi\,dz\) ist nun:$$V=\iiint\limits_VdV=\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}\;\int\limits_{z=0}^1\int\limits_{r=0}^{\sqrt{z/2}}r\,dr\,dz\,d\varphi+\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}\;\int\limits_{z=1}^2\;\,\int\limits_{r=\sqrt{z-1}}^{\sqrt{z/2}}r\,dr\,dz\,d\varphi$$
Der Schwerpunkt liegt aus Symmetriegründen auf der \(z\)-Achse, daher brauchen wir nur seine \(z\)-Komponente zu bestimmen:$$z_S=\frac{1}{V}\iiint\limits_Vz\,dV=\frac1V\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}\;\int\limits_{z=0}^1\int\limits_{r=0}^{\sqrt{z/2}}rz\,dr\,dz\,d\varphi+\frac1V\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}\;\int\limits_{z=1}^2\;\,\int\limits_{r=\sqrt{z-1}}^{\sqrt{z/2}}rz\,dr\,dz\,d\varphi$$
Die Freude am Ausrechnen der Integrale möchte ich dir nur ungern nehmen. Wenn du nicht weiterkommst, frag hier bitte einfach nochmal nach.
