Dreifachintegral Rotationskörper

Question

Hallo, kann mir jemand bei der Aufgabe helfen. Ich weiß zwar was ein Dreifachintegral ist doch habe ich leider nicht den Bezug zum Rotationskörper. Ich habe ja z1 und z2 muss man dort die einzelt betrachten oder kann man diese in einem dreifachintegral zusammenfassen. Zudem habe ich noch die frage wie man das Volumen denn genau berechnet, leider weiß ich auch nicht wie man die ZS Koordinate des Schwerpunktes berechnet.

Text erkannt:

c. Gegeben ist eine durch die Funktionen
$z_{1}(r)=2 r^{2}$ und $z_{2}=r^{2}+1$
sowie durch die $z$ -Achse begrenzte Fläche, siehe folgendes Schaubild:
Durch die Rotation dieser Fläche um die $z$ -Achse entsteht ein zylindrischer Rotationskörper.

Text erkannt:

c.1 Berechnen Sie das Rotationsvolumen $V$ des Körpers! $\quad$ (\approx 4 Punkte) Hinweis: Dreifachintegration anwenden!
c.2 Ermitteln Sie die Koordinate $z_{S}$ des Schwerpunktes des homogenen Körpers! $\quad$ (\approx 4 Punkte) $\underline{\text { Hinweis: Dreifachintegration anwenden! }}$
c.3 Zeichnen Sie den Schwerpunkt des homogenen Körpers in die gegebene Skizze ein und formulieren Sie eine Aussage hinsichtlich der Plausibilität Ihres Berechnungsergebnisses! $(\approx 1$ Punkt $)$

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Du benötigst einen Vektor $\vec r$, der alle Punkte des Rotationsvolumens abtastet. Wegen der Rotations-Symmetrie um die $z$-Achse bieten sich dazu Zylinderkoordinaten an.

$$\vec r=\begin{pmatrix}r\cos\varphi\\r\sin\varphi\\z\end{pmatrix}\;;\;\varphi\in[0;2\pi]\;;\; r\in\left\{\begin{array}{c}\left[0;\sqrt{\frac{z}{2}}\right]&\text{falls \(z\in[0;1]\)}\\[1ex]\left[\sqrt{z-1};\sqrt{\frac{z}{2}}\right]&\text{falls \(z\in[1;2]\)}\end{array}\right.\;;\;z\in[0;2]$$

Mit dem Volumenelement in Zylinderkoordinaten $dV=r\,dr\,d\varphi\,dz$ ist nun:$$V=\iiint\limits_VdV=\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}\;\int\limits_{z=0}^1\int\limits_{r=0}^{\sqrt{z/2}}r\,dr\,dz\,d\varphi+\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}\;\int\limits_{z=1}^2\;\,\int\limits_{r=\sqrt{z-1}}^{\sqrt{z/2}}r\,dr\,dz\,d\varphi$$

Der Schwerpunkt liegt aus Symmetriegründen auf der $z$-Achse, daher brauchen wir nur seine $z$-Komponente zu bestimmen:$$z_S=\frac{1}{V}\iiint\limits_Vz\,dV=\frac1V\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}\;\int\limits_{z=0}^1\int\limits_{r=0}^{\sqrt{z/2}}rz\,dr\,dz\,d\varphi+\frac1V\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}\;\int\limits_{z=1}^2\;\,\int\limits_{r=\sqrt{z-1}}^{\sqrt{z/2}}rz\,dr\,dz\,d\varphi$$

Die Freude am Ausrechnen der Integrale möchte ich dir nur ungern nehmen. Wenn du nicht weiterkommst, frag hier bitte einfach nochmal nach.