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Willkommen in der Mathelounge... \o/
Wir brauchen zunächst einen Ortsvektor \(\vec r\), der vom Ursprung ausgehend den zylindrischen Körper \(K\) vollständig abtastet. Der Zylinder steht auf der xy-Ebene mit der z-Achse als Symmetrieachse, hat den Radius \(2\) und die Höhe \(3\). Daher lautet unser Abtastvektor:$$\vec r=\left(\begin{array}{c}r\cos\varphi\\r\sin\varphi\\z\end{array}\right)\quad;\quad r\in[0;2]\;;\;\varphi\in[0;2\pi]\;;\;z\in[0;3]\quad;\quad dV=r\,dr\,d\varphi\,dz$$Beachte, dass das Volumenelement \(dV\) auch in Zylinderkoordinaten angegeben ist.
Die Massendichte \(\rho(x;y;z)\) ist durch das Quadrat des Abstands des Punktes \((x;y;z)\) vom Punkt \((0;2;0)\) gegeben. Das müssen wir erstmal mathematisch formulieren:$$\rho(x;y;z)=\left\|\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\2\\0\end{pmatrix}\right\|^2=\left\|\begin{pmatrix}x\\y-2\\z\end{pmatrix}\right\|^2=x^2+(y-2)^2+z^2$$Da wir jedoch in Zylinderkoordinaten rechnen wollen / sollen, müssen wir \(x\) und \(y\) noch durch \(r\) und \(\varphi\) ersetzen:$$\rho(r;\varphi;z)=(r\cos\varphi)^2+(r\sin\varphi-2)^2+z^2=r^2\cos^2\varphi+(r^2\sin^2\varphi-4r\sin\varphi+4)+z^2$$$$\phantom{\rho(r;\varphi;z)}=r^2(\cos^2\varphi+\sin^2\varphi)-4r\sin\varphi+4+z^2=r^2-4r\sin\varphi+z^2+4$$Nach diesen Vorüberlegungen wenden wir uns den Rechnungen zu...
zu a) Bestimmung der Masse
$$m=\int\limits_V\rho\,dV=\int\limits_{r=0}^2\;\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}\;\int\limits_{z=0}^3(r^2-4r\sin\varphi+z^2+4)\,r\,dr\,d\varphi\,dz$$$$\phantom m=\int\limits_{r=0}^2\;\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}\;\int\limits_{z=0}^3(r^3-4r^2\sin\varphi)\,dr\,d\varphi\,dz+\int\limits_{r=0}^2\;\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}\;\int\limits_{z=0}^3z^2r\,dr\,d\varphi\,dz+\int\limits_{r=0}^2\;\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}\;\int\limits_{z=0}^34r\,dr\,d\varphi\,dz$$$$\phantom m=3\int\limits_{r=0}^2\;\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}(r^3-4r^2\sin\varphi)\,dr\,d\varphi+2\pi\int\limits_{r=0}^2r\,dr\int\limits_{z=0}^3z^2\,dz+2\pi\cdot3\cdot4\int\limits_{r=0}^2r\,dr$$$$\phantom m=3\int\limits_{r=0}^2\left[r^3\varphi+4r^2\cos\varphi\right]_{\varphi=0}^{2\pi}\,dr+2\pi\left[\frac{r^2}{2}\right]_{r=0}^2\cdot\left[\frac{z^3}{3}\right]_{z=0}^3+24\pi\left[\frac{r^2}{2}\right]_{r=0}^2$$$$\phantom m=3\cdot2\pi\int\limits_{r=0}^2r^3\,dr+2\pi\cdot2\cdot9+24\pi\cdot2=6\pi\left[\frac{r^4}{4}\right]_{r=0}^2+36\pi+48\pi=24\pi+84\pi$$$$\phantom{m}=108\pi$$
zu b) Bestimmung der y-Komponente des Schwerpunktes
Da wir uns ja nun schon langsam aufgewärmt haben, kommt nun zum Integranden von Teil a) noch die \(y\)-Koordinate als Faktor hinzu:$$y_s=\frac1m\int\limits_Vy\rho\,dV=\frac{1}{108\pi}\int\limits_{r=0}^2\;\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}\;\int\limits_{z=0}^3r\sin\varphi\cdot(r^2-4r\sin\varphi+z^2+4)\,r\,dr\,d\varphi\,dz$$$$\phantom{y_s}=\frac{1}{108\pi}\int\limits_{r=0}^2\;\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}\;\int\limits_{z=0}^3(r^4\sin\varphi-4r^3\underbrace{\left(\frac12-\frac12\cos(2\varphi)\right)}_{=\sin^2\varphi}+z^2r^2\sin\varphi+4r^2\sin\varphi)\,dr\,d\varphi\,dz$$$$\phantom{y_s}=\frac{1}{108\pi}\int\limits_{r=0}^2\;\int\limits_{z=0}^3\left[-r^4\cos\varphi-4r^3\left(\frac\varphi2-\frac14\sin(2\varphi)\right)-z^2r^2\cos\varphi-4r^2\cos\varphi\right]_{\varphi=0}^{2\pi}\,dr\,dz$$$$\phantom{y_s}=\frac{1}{108\pi}\int\limits_{r=0}^2\;\int\limits_{z=0}^3-4r^3\,\frac{2\pi}{2}\,dr\,dz=\frac{-4\pi}{108\pi}\int\limits_{r=0}^2r^3\,dr\;\int\limits_{z=0}^3dz=-\frac{1}{27}\left[\frac{r^4}{4}\right]_{r=0}^2\cdot3=-\frac49$$
