Problem beim Auflösen nach x von: 10^x - 10^(x-1) >=10000 [Logarithmieren]

Question

Aufgabe:

$$\text{Problem beim Logarithmieren / Auflösen nach x. Folgende Aufgabe kann ich lösen:} \newline 10^x~~\text{=}~ 10000 \newline log( 10^x ) ~\text{=}~ log ( 10000 ) \newline x~ log ( 10 )~ {=}~ log ( 10000 ) \newline x =\frac{log ( 10000 )} {log(10)} \newline \newline \newline \newline \text{Bei dieser jedoch mache ich einen Fehler, den ich momentan nicht sehe. Vielleicht kann einer von} \newline \text{euch Mathe-Cracks mir weiterhelfen. Das wäre super und vielen Dank im voraus :) } \newline 10^x - 10^{x-1} >=~ 10000 \newline log( 10^x ) - log(10^{x-1}) >=~ log ( 10000 ) \newline x log ( 10 ) - (x-1)log(10) >=~ log ( 10000 ) \newline log( 10 )( x-x+1 ) >=~log ( 10000 ) \newline 1 >= \frac {log ( 10000 ) }{log( 10 )} $$

Answer 1

10^x = 10000 = 10^4

x= 4 (Exponentenvergleich genügt hier)

10^x -10^(x-1) >= 10^4

10^x*(1-1/10) >= 10^4

10^x >= 10^5/9

x >= lg(10^5/9) = lg10^5-lg9

x>= 5- lg9

x>= 4,046

Comments

Super, vielen Dank :)

Answer 2

Wenn du in

        \(10^x - 10^{x-1} \geq 10000\)

auf beiden Seiten den Logarithmus anwendest, dann bekommst du

    \(\log(10^x - 10^{x-1}) \geq \log(10000)\).

Es gibt kein Logarithmusgesetz, dass es dir erlaubt, die linke Seite dieser Ungleichung zu

          \(\log(10^x) - \log(10^{x-1})\)

umzuformen.

Wenn du in der Gleichung \(y - z = x+3\) auf beiden Seiten 3 abziehst, dann würdest daraus wahrscheinlich auch nicht \((y-3) - (z-3) = x\) machen, oder?

Im Gegensatz dazu gibt es ein Gesetzt, mit dem du aus der Gleichung \(6y-15z = 3x\) die Gleichung \(2y-5z = x\) machen kannst. Du darfst nähmlich auf der linken Seite von \(\frac{1}{3}(6y-15z) = \frac{1}{3}\cdot 3x\) das Distrubutivgesetz anwenden.