Exakte Differentialgleichung lösen

Question

Aufgabe:

Geben Sie die allgemeine Lösung der Differentialgleichung explizit an.

\( \left(1+2 x^{2}\right)+2 x y y^{\prime}=0 \)

Es ist diese (noch nicht exakte) DGL zu lösen, wobei man im nächsten Schritt zeigen sollte, dass exp(x^2+y^2) ein integrierender Faktor ist.

Da die DGL jetzt exakt ist sollte man sie lösen können indem man die jeweilige Potentialfunktion bildet, also integrieren. Mein Problem ist nur, dass sich exp(x^2+y^2) ja nicht integrieren lässt. Was nun?

Comments

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Answer 1

Aloha :)$$(1+2x^2)+2xyy'=0\implies2yy'=-\frac{1+2x^2}{x}=-\frac{1}{x}-2x\implies y^2=c-\ln|x|-x^2$$

Answer 2

Hallo,

e^(x^2+y^2)(1+2x^2)dx +2xye^(x^2+y^2) dy=0

Um Deine Frage zu beantworten:

Mein Problem ist nur, dass sich exp(x2+y2) ja nicht integrieren lässt. Was nun?

F(x,y)= ∫ P(x,y)dx =∫e^(x^2+y^2)(1+2x^2) dx

= ∫ e^(x^2) *e^(y^2)(1+2x^2) dx

= e^(y^2) ∫ e^(x^2) (1+2x^2) dx

= e^(y^2) (∫ e^(x^2)dx +∫ e^(x^2) (2x^2) dx)

---->∫ e^(x^2)dx ->part.Integration: = x e^(x^2) -∫ 2x^2 e^(x^2) dx

insgesamt:

=  e^(y^2) ( x e^(x^2) -∫ 2x^2 e^(x^2) dx +∫ e^(x^2) (2x^2) dx)

----> -∫ 2x^2 e^(x^2) dx +∫ e^(x^2) (2x^2) dx, kürzen sich weg

=  e^(y^2)  x e^(x^2) 

F(x,y)=e^(x^2+y^2) x