Funktionen: Grenzwerte x gegen x_0=1 wobei f(x)=(x^4+1)/(x^4-1)

Question

Aufgabe 5.2 (Funktionen: Grenzwerte)
Wie verhalten sich die Funktionswerte der folgenden Funktionen für x gegen x0? Geben Sie wenn
möglich einen Grenzwert an.

a)

$$ f\left( x \right) =\frac { { x }^{ 4 }+1 }{ { x }^{ 4 }-1 } mit\quad x0\quad =\quad 1 $$

Leider habe ich noch keinen Ansatz für die Lösung.

Kann mir jemand sagen wie ich so etwas angehe?

Am Besten noch gerade den Lösungsweg angeben damit ich die restlichen Aufgaben selbst angehen kann.

 

Comments

https://www.wolframalpha.com/input/?i=f%28x%29%3D%28x%5E4%2B1%29%2F%28x%5E4-1%29

Den Grenzwert für x gegen 1 gibt's nicht. Zudem ist der 'Grenzwert' von Links minus unendlich und von rechts plus unendlich.
x=1 ist eine einfache Polstelle. Grund Nenner enthält Faktor (x-1) und (x^4+1) hat keine Nullstelle.

Nenner faktorisieren:
x^4-1               |3. Binom

= (x^2-1)(x^2 +1)         |3. Binom

=(x-1)(x+1)(x^2 + 1)

---

Mach das doch als Antwort. Dann ist die Frage erledigt und was will man mehr als das von Dir genannte sagen? ;)

Eventuell noch die h-Methode erwähnen um zu verdeutlichen, wann's gegen +∞ strebt und wann gegen -∞.

(Im interessanten Nennerfaktor ist das ja letztlich (1+h-1) für x->1+h und h->0)

Grüße

Answer 1

https://www.wolframalpha.com/input/?i=f%28x%29%3D%28x%5E4%2B1%29%2F%28x%5E4-1%29

Den Grenzwert für x gegen 1 gibt's nicht. Zudem ist der 'Grenzwert' von Links minus unendlich und von rechts plus unendlich.
x=1 ist eine einfache Polstelle. Grund Nenner enthält Faktor (x-1) und (x⁴+1) hat keine Nullstelle.

Nenner faktorisieren:
x⁴-1               |3. Binom

= (x²-1)(x² +1)         |3. Binom

=(x-1)(x+1)(x² + 1)

 

(x^4 +1)/(x^4 -1) = (x^4 +1)/((x-1)(x+1)(x² + 1))

limes von rechts (h>0)

x=1+h einsetzen: ergibt an der roten Stelle (1+h-1)=h einen positiven Faktor, der gegen 0 geht. Restl Klammern in der Nähe von x=1 alle > 0 daher. Limes von rechts ist PLUS unendlich

 

limes von links (h<0)

x=1+h einsetzen: ergibt an der roten Stelle (1+h-1)=h einen negativen Faktor, der gegen 0 geht. Restl Klammern  in der Nähe von x=1  alle > 0 daher. Limes von rechts ist MINUS unendlich