Folge an finden, damit die gegebene Potenzreihe gleich 1/(1-x)^3 ist

Question

Aufgabe:

Ich habe Probleme mit folgender Aufgabe:

Ich soll eine Folge (a_n)_n∈ℕ0 finden, damit für x ∈ ℂ mit |x| < 1 gilt:

\( \frac{1}{(1-x)^{3}} \) = \( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{} \)a_n\( x^{n} \)

Und dann den Konvergenzradius r von der Potenzreihe bestimmen.

Ich hab leider gar keine Idee...

(Ich habe noch nicht Taylorreihen oder Ableitungen gehabt, also wenn möglich ohne das zu verwenden...)

Comments

Wenn Ableitungen nicht zur Anwendung kommen sollen, sei das Cauchy-Produkt für Reihen empfohlen.

Answer 1

Hallo,

Ich habe noch nicht Taylorreihen oder Ableitungen gehabt

Du hast sicher schon die geometrische Reihe gehabt$$\frac 1{1-x} = \sum\limits_{n=0}^{\infty} x^n$$Damit man auf den Term der linken Seite kommt, multipliziere obiges zweimal mit \((1-x)\)$$\begin{aligned} \frac{1}{(1-x)^3} &= \sum\limits_{n=0}^{\infty} a_nx^n &&|\,\cdot (1-x)\\ \frac{1}{(1-x)^2} &= \sum\limits_{n=0}^{\infty} a_nx^n - \sum\limits_{n=0}^{\infty} a_nx^{n+1}\\ &= a_0 + \sum\limits_{n=1}^{\infty}(a_n - a_{n-1})x^{n} &&|\,\cdot (1-x)\\ \frac{1}{1-x} &= a_0(1-x) + \sum\limits_{n=1}^{\infty}(a_n - a_{n-1})x^{n} - \sum\limits_{n=1}^{\infty}(a_n - a_{n-1})x^{n+1}\\ &= a_0(1-x) + (a_1-a_0)x + \sum\limits_{n=2}^{\infty} (a_n - 2a_{n-1} + a_{n-2}) x^n \end{aligned}$$Anschließend setze ich für den linken Term die Summenformel der geometrischen Reihe ein und arrangiere das noch ein wenig$$\begin{aligned}\sum\limits_{n=0}^{\infty} x^n &=  a_0(1-x) + (a_1-a_0)x + \sum\limits_{n=2}^{\infty} (a_n - 2a_{n-1} + a_{n-2}) x^n\\ 1 + x + \sum\limits_{n=2}^{\infty} x^n &= a_0  + (a_1-2a_0)x +  \sum\limits_{n=2}^{\infty} (a_n - 2a_{n-1} + a_{n-2}) x^n\end{aligned}$$Führe nun einen Koeffizientenvergleich durch. Die obige Gleichung ist nur genau dann für jedes \(x\) erfüllt, wenn jeweils die Koeffizienten vor \(x^n\) für jedes \(n\) paarweise gleich sind. Daraus folgt$$a_0 = 1 \\ a_1 - 2a_0 = 1 \implies a_1 = 3 \\ a_n - 2a_{n-1} + a_{n-2} = 1 \implies a_n = 2a_{n-1} - a_{n-2} + 1$$Damit liegt nun eine rekursive Definition für \(a_n\) vor.

Schaffst Du es, daraus eine explizite Form \(a_n = f(n)\) zu machen? Falls nicht, so frage nochmal nach.

Gruß Werner

Comments

Kannst du mir bitte bei meiner aktuellen Frage helfen(Integral ;Wurzelfunktion)

Habe leider das falsche Integral angegeben, es sollte \(\int \limits_{}^{}\sqrt{w\cdot\sqrt[3]{u^2}}\mathrm{d}u\) heißen.

Danke

Answer 2

Verwende die Taylorreihe.

Ich habe noch nicht Taylorreihen oder Ableitungen gehabt

Das heisst du darfst "Das ist die Taylorreihe von \(\frac{1}{(1-x)^3}\)" nicht als Begruendung heranziehen. Du musst dir eine andere Begruendung ausdenken, falls eine verlangt ist.