Beweis über Konvergenzradius von Potenzreihen.

Question

Aufgabe:

Ich habe folgende Frage:

Wir haben die Potenzreihe \( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{} \)a_n\( (x-x0)^{n} \) , mit Konvergenzradius r ∈ (0,∞)

Und jetzt soll ich zeigen, dass die Potenzreihe \( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{} \)a_n+1\( (x-x0)^{n} \) auch den Konvergenzradius r hat.

Kann mir da jemand helfen?

x0 soll x₀ sein ;)

Answer 1

Hallo

ich mache mal eine Richtung: Sei \(S_n\) die Partialsumme der ersten Reihe, \(T_n\) die der zweiten Reihe. Dann gilt

Wenn \(T_n \to t\), dann \((x-x_0)T_n \to t(x-x_0)\). Es gilt.

$$(x-x_0)T_n=S_{n+1}-a_0 \Rightarrow S_n \to a_0+t(x-x_0)$$

Mit der 2. Richtung gilt dann: Beide Reihen haben denselben Konvergenzbereich.

Gruß Mathhlf