1. Ableitung f(x)=(x+3)e^-0,5x

Question

Aufgabe:

1. Ableitung von f(x)=(x+3)e^-0,5x

Problem/Ansatz:

Wie kommt man auf die erste Ableitung? Und wie genau ist der Rechenweg?

Answer 1

Aloha :)

Hier hilft eine Kombination von Produkt- und Kettenregel:

$$f'(x)=\left(\underbrace{(x+3)}_{=u}\cdot\underbrace{e^{-0,5x}}_{v}\right)'=\underbrace{1}_{=u'}\cdot\underbrace{e^{-0,5x}}_{v}+\underbrace{(x+3)}_{=u}\cdot\underbrace{\overbrace{e^{-0,5x}}^{=\text{äußere Abl.}}\cdot\overbrace{(-0,5)}^{\text{innere Abl.}}}_{v'}$$$$f'(x)=e^{-0,5x}-\frac{1}{2}(x+3)e^{-0,5x}=\frac{1}{2}e^{-0,5x}\left(2-(x+3)\right)=-\frac{1}{2}e^{-0,5x}\left(x+1\right)$$

Comments

Dankeschön!

Wie die Ableitung funktioniert ist mir nun klar aber ich kann nicht nachvollziehen wie das Ergebnis vereinfacht wurde?

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$$f'(x)=e^{-0,5x}-\frac{1}{2}(x+3)e^{-0,5x}$$$$f'(x)=\frac{1}{2}e^{-0,5x}\cdot2-\frac{1}{2}e^{-0,5x}\cdot(x+3)$$$$f'(x)=\frac{1}{2}e^{-0,5x}\cdot\left(2-(x+3)\right)$$$$f'(x)=\frac{1}{2}e^{-0,5x}\cdot\left(2-x-3\right)$$$$f'(x)=\frac{1}{2}e^{-0,5x}\cdot\left(-x-1\right)$$$$f'(x)=-\frac{1}{2}e^{-0,5x}\cdot\left(x+1\right)$$

Answer 2

Wichtig ist hier dass du erkennst dass es sich um ein Profukt aus zwei Funktionen handelt. Die eine Funktion ist x+3 und die andere Funktion ist die e funktion. Also brauchst du die Produktregel. Wenn es an das Ableiten der e funktion geht benötigst du dann die Kettenregel.