Sei 0 6= ϕ: R2 → R2 linear mit ϕ 2 = 0. Zeige:

Question

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Sei \( 0 \neq \varphi: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} \) linear mit \( \varphi^{2}=0 . \) Zeige:
(a) \( \operatorname{dim} \operatorname{Ker}(\varphi)=1 \).
(b) Ist \( v \in \mathbb{R}^{2} \) mit \( \varphi(v) \neq 0 \), so ist \( B=(\varphi(v), v) \) eine Basis des \( \mathbb{R}^{2} \).
(c) Bestimme die Matrix \( { }_{B} M_{B}(\varphi) \).

Answer 1

Hallo,

das f (ich schreibe f für phi) nicht die Nullabbildung ist, existiert x mit \(f(x) \neq 0\), also liegt \(f(x)\) im Kern von f, da ja \(f(f(x))=0\).

Damit hat der Kern mindestens die Dimension 1. Dimension 2 entfällt, das f sonst die Nullabbildung wäre.

Das angegebene B hat 2 Elemente, diese sind linear unabhängig; denn:

$$0=sf(v)+tv \Rightarrow 0=f(0)=s(f(f(v))+tf(v)=tf(v)$$

Weil \(f(v) \neq 0\) folgt t=0 und dann auch s=0.

Die darstellende Matrix ist

$$\begin{pmatrix} 0&1 \\0&0\end{pmatrix}$$

Gruß Mathhilf