Aloha :)
Die Dreieckfläche ist die Fläche unterhalb der Geraden \(y=x\) und oberhalb der \(x\)-Achse mit \(x\in[0;1]\). Als Punktmenge kannst du diese Fläche so schreiben:$$B=\left\{(x;y)\in\mathbb R^2\,\big|\,0\le x\le 1\;\land\;0\le y\le x\right\}$$
Damit sind die Integrationsgrenzen klar und es gilt:$$I=\iint\limits_Bf(x;y)\,d(x;y)=\int\limits_{x=0}^1\;\int\limits_{y=0}^x\left(x+y^2\right)\,dy\,dx$$
Da die obere Grenze des Integrals über \(dy\) von \(x\) abhängt, muss die Integration über \(dy\) zuerst durchgeführt werden:$$I=\iint\limits_Bf(x;y)\,d(x;y)=\int\limits_{x=0}^1\left[xy+\frac{1}{3}y^3\right]_{y=0}^xdx=\int\limits_{0}^1\left(x^2+\frac{1}{3}x^3\right)\,dx$$$$\phantom{I}=\left[\frac{x^3}3+\frac{1}{3}\cdot\frac14x^4\right]_0^1=\frac{1}{3}+\frac{1}{12}=\frac{5}{12}$$
