Bestimmen Sie eine Primfaktorzerlegung von f(x)=x^{4}-x^{2}+1 ∈ K[x] in den folgenden Fällen: K=ℝ, ℂ, …

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie eine Primfaktorzerlegung von \( f(x)=x^{4}-x^{2}+1 \in K[x] \) in den folgenden Fällen: \( K=\mathbb{R}, \mathbb{C}, \mathbb{F}_{3}, \mathbb{F}_{5} \) und \( \mathbb{Q}[i]=\mathbb{Q}[\sqrt{-1}]=\{a+b i \in \mathbb{C} \mid a, b \in \mathbb{Q}\} \).

Problem/Ansatz:

Ich hab bisher nur den reellen Teil lösen können. Da kam ich darauf, dass R irreduzibel sei. Bei den weiteren Aufgaben fehlt mir aber irgendwie ein allgemeiner Ansatz und das generelle Vorgehen.

Comments

In \(\mathbb F_5:x^4-x^2+1=(x^2+2x+4){\cdot}(x^2+3x+4)\).
In \(\mathbb F_3:x^4-x^2+1=(x^2+1)^2\).

Answer 1

Für \(  \mathbb{F}_{3} \)  unf \(  \mathbb{F}_{5} \) hast du ja schon

was bekommen. Vielleicht möchtest du ja auch wissen, wie

man darauf kommen kann ?

Nullstellen hat dein Polynom in beiden Fällen nicht, brauchst ja nur

die wenigen Elemente des Körpers jeweils einzusetzen.

Also allenfalls quadratische Teiler von der Form

\( (x^2+ax+b){\cdot}(x^2+cx+d)\) Da führt dich Klammern auflösen und

Koeffizientenvergleich auf die Lösung.

Beim Körper ℂ gibt es 4 lineare Faktoren (Fundamentalsatz der

Algebra )   Dazu kannst du bei dem Beispiel erstmal substituieren z=x^2

und   \( z^{2}-z+1 = 0 \)  in ℂ lösen und dann von diesen

z noch die komplexen Quadratwurzeln bestimmen.