Was können Sie über die Koeffizienten an der Potenzreihe von f aussagen?

Question

Aufgabe:

Sei D ⊂ C Eine Funktion f : D → C heißt gerade, falls f(z) = f(−z)  für alle z ∈ D gilt. Sei f(z) = ∑ a_n(z − z₀)ⁿ   nun eine Funktion von der bekannt ist, dass sie gerade ist. Was können Sie über die Koeffizienten a_n der Potenzreihe von f aussagen?

Bemerkung: Eine Funktion f : D → C heißt ungerade, falls f(z) = −f(z) für alle z ∈ D gilt. (Das ist hier aber nicht relevant.)

Problem/Ansatz:

Habe eine schwierige Aufgabe und

Comments

Ich würde mal den Aufgabentext prüfen, ob da wirklich ein \(z_0\) auftaucht. Und vielleicht auch etwas über D ausgesagt wird.

Answer 1

Hallo

bei geraden Funktionen dürfen nur gerade Exponenten von z vorkommen, da bei (z-z0)^n immer mindestens ein ungerader Exponent vorkommt müssen die sich rausheben. Ich sehe nicht  wie das gehen soll. man kann es ja versuchen, wenn n bis 2 oder 3 geht, schon da klappt es nicht. a0+a1z-a1zo+a2z^2-2a2z0z+z0^2 müsste a1-2a2z0=0 sein, dann nimm noch a3z^3-3a3z^2z0+3a3zz0^2+z0^3 geht mit a3=0 aber da auch in (z-z0)^4 wieder z^3 und z vorkommt, sehe ich nicht wie das gehen soll.

also alle an=0 ausser a0

Aber keine Garantie!

Comments

bei geraden Funktionen dürfen nur gerade Exponenten von z vorkommen

Das gilt für ganzrationale Funktionen in Normalform.

da bei (z-z0)ⁿ immer mindestens ein ungerader Exponent vorkommt

Angenommen n ist gerade. Dann kommt in der Normalform der Summand n·z₀·z^n-1 vor. Den kann man entfernen indem man in der Potenzreihe a_n-1 = -nz₀ wählt. Auf ähnliche Weise kann man alle weiteren ungeraden Exponenten in der Normalform entfernen.

Beispiel. Die Funktion

        \(\begin{aligned}f(x) =\,& 6-2\left(x-1\right)-13\left(x-1\right)^2\\&-12\left(x-1\right)^3-3\left(x-1\right)^4\end{aligned}\)

ist gerade.

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Hallo Oswald

danke, sehr schön! Trotzdem frage ich mich, was diese Frage bringt.

Gruß lul