Eigenvektor eines Matrixs bestimmen

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Gegeben sind die Matrix \( \mathbf{A} \) und ein Eigenvektor \( \vec{v} \) der Matrix \( \mathbf{A} \) mit
\( \mathbf{A}=\left(\begin{array}{cccc}-9 & -1 & -1 & 9 \\ -1 & -9 & 9 & -1 \\ -9 & 1 & -9 & -1 \\ 1 & -9 & -1 & -9\end{array}\right), \quad \vec{v}=\left(\begin{array}{c}-2 \\ 2 \\ 2 \\ -2\end{array}\right) \)
Ermitteln Sie den Eigenwert \( \lambda \) zum Eigenvektor \( \vec{v} \).
\( \lambda= \)

Problem/Ansatz:

Ich bräuchte einmal den Ansatz wie man das löst und die Lösung bitte damit ich das mit meinen Ansätzen kontrollieren kann.

Answer 1

Probiere das mal mit dem Link hier aus:

https://matrixcalc.org/de/vectors.html

Answer 2

[-9, -1, -1, 9; -1, -9, 9, -1; -9, 1, -9, -1; 1, -9, -1, -9]·[-2; 2; 2; -2] = [-4; 4; 4; -4]

Damit ist der Eigenwert 2.

Answer 3

Aloha :)

Die Eigenwertgleichung lautet:\(\quad\mathbf A\cdot\vec v=\lambda\cdot\vec v\).

Daher reicht es aus, die Matrix mit dem Eigenvektor zu multiplizieren:

$$\phantom{=}\left(\begin{array}{rrrr}-9 & -1 & -1 & 9\\-1 & -9 & 9 & -1\\-9 & 1 & -9 & -1\\1 & -9 & -1 & -9\end{array}\right)\left(\begin{array}{r}-2\\2\\2\\-2\end{array}\right)$$$$=\left(\begin{array}{rrrr}-9\\-1\\-9\\1\end{array}\right)\cdot(-2)+\left(\begin{array}{rrrr}-1\\-9\\1\\-9\end{array}\right)\cdot2+\left(\begin{array}{rrrr}-1\\9\\-9\\-1\end{array}\right)\cdot2+\left(\begin{array}{rrrr}9\\-1\\-1\\-9\end{array}\right)\cdot(-2)$$$$=\left(\begin{array}{rrrr}-4\\4\\4\\-4\end{array}\right)\stackrel!=\lambda\left(\begin{array}{r}-2\\2\\2\\-2\end{array}\right)\quad\implies\quad\lambda=2$$