Aufgabe:
Die Fehlerformel bei der Approximation durch einen kubischen Spline \( s \) mit beliebigen Stützstellen \( x_{0}<x_{1}<\cdots<x_{n} \) und vollständigen Randbedingungen, welcher eine vorgegebene Funktion \( f \in C^{4}\left[x_{0}, x_{n}\right] \) interpoliert, d.h. \( f\left(x_{i}\right)=s\left(x_{i}\right) \) für \( i=0,1, \ldots, n \) sowie \( f^{\prime}\left(x_{0}\right)=s^{\prime}\left(x_{0}\right) \) und \( f^{\prime}\left(x_{n}\right)=s^{\prime}\left(x_{n}\right) \), lautet
$$ |f(x)-s(x)| \leq \frac{5}{384}\left[\max _{\xi \in\left[x_{0}, x_{n}\right]}\left|f^{(4)}(\xi)\right|\right] h_{\max }^{4} \text { für } x \in\left[x_{0}, x_{n}\right] $$
mit \( h_{\max }=\max \left\{\left|x_{i}-x_{i-1}\right|: i=1, \ldots, n\right\} . \)
Betrachtet wird die Funktion \( f(x)=\frac{1}{2} \ln (x) \) auf dem Intervall \( [a, b]=\left[\frac{1}{2}, 2\right] \).
a) Gegeben seien die Stützstellen \( x_{0}=0.5, x_{1}=0.9, x_{2}=1.5, x_{3}=2 . \) Schätzen Sie den Approximationsfehler nach obiger Formel auf dem Intervall ab.
b) Seien \( x_{i}=a+i h \) für \( i=0,1, \ldots, n \) mit \( h=\frac{b-a}{n} . \) Bestimmen Sie ein (möglichst kleines) \( n \), so dass man einen Fehler kleiner als \( 10^{-4} \) im ganzen Intervall garantieren kann.
könnte mir jemand bitte dabei helfen?
