Rotationskörper(Rotationsvolumen, Umkehrfunktion)

Question

Aufgabe:

Durch das Integral $$ Vy = \int \limits_{y1}^{y2}cos^{2}(2y-1)dy $$ wird das Volumen eines Rotationskörpers bestimmt. Wie heißt die Gleichung der Kurve, die die erzeugende Fläche von oben begrenzt?

Komme leider mit der Aufgabe nicht weiter. Wäre nett, wenn ihr mir helfen könntet.

Problem/Ansatz:

Umkehrfunktion bilden

x = cos2(2y-1)

y= cos2(2x-1)

arccos(y)*arccos(y) = 2x-1

arccos²(y) = 2x-1 |+1

arccos²(y) + 1 = 2x |:2

(arrcos²(y) +1)/2

Comments

Du musst erst die Wurzel ziehen.

√x = cos(2y-1)

Answer 1

Hallo

da da von oben begrenzt steht, würde ich denken dass man die Kurve y=cos^2(2x-1) um die x Achse dreht.  oder x=cos^2(2y-1) um die y Achse.  da brauchst du keine Umkehrfunktion.

nur verstehe ich das "von oben" nicht, für ein Rotationsvolumen fehlt ein Faktor pi

aber die Umkehrfunktion ist √x=cos(2y-1)  2y-1=arccos(√x) ,y=0,5*(arccos(√x)-1)

Gruß lul

Answer 2

Hallo,

Kannst du mir bitte bei meiner aktuellen Frage helfen(Rotationsvolumen, Gleichung der Kurve)?

So wie ich die Aufgabe verstehe, ist eine Funktion \(g(y)\) gesucht. Rotiert man den Graphen von \(g\) (um die Y-Achse!), in den Grenzen von \(y_1\) bis \(y_2\), so soll sich das Volumen \(V\) ergeben:$$V = \int\limits_{y_1}^{y_2} \pi g(y)^2\,\text dy =  \int \limits_{y1}^{y2}cos^{2}(2y-1)dy $$Daraus folgt doch$$\pi g(y)^2 = cos^{2}(2y-1)$$und dann weiter$$g(y) = \frac{\cos(2y-1)}{\sqrt{\pi}}$$

https://www.desmos.com/calculator/qjc0enro0h

das könnte eine Sanduhr ergeben. Je nachdem wie man \(y_1\) und \(y_2\) wählt. Die Umkehrfunktion zu bilden ist nicht notwendig. Ich habe das in dem Graphen nur gemacht, um die Kurve zu demonstrieren.

Wie heißt die Gleichung der Kurve, die die erzeugende Fläche von oben begrenzt?

.. ich würd eher sagen 'nach außen'. Ansonsten sollte man zunächst definieren wo oben ist ;-) Wenn man die Frage wirklich wörtlich nimmt und davon aussgeht, dass 'oben' dort ist, wo die Y-Achse hinzeigt, dann wäre IMHO die korrekte Antwort $$f(x) = y_2 = \text{konstant}$$

Gruß Werner