Rechnerisch zeigen, dass Menge eine Gerade ist

Question

Aufgabe:

Gegeben sind die Punkte A=(a1,a2)≠B=(b1,b2). Wir definieren eine Menge
M={P∈R2|Abstand(A,P)=Abstand(B,P)}
Zeigen Sie rechnerisch, dass M eine Gerade ist.

Problem/Ansatz:

Ich verstehe, dass die Punktemenge insgesamt eine Gerade ergibt und hab mir dazu auch eine Zeichnung gemacht. Ein Punkt P liegt auf der Mitte der Geraden AB. Von diesem Punkt ergibt die senkrechte Gerade die gesuchte Menge.

Leider weiß ich gar nicht wie ich mit dem rechnerischen Beweis anfangen soll.

Answer 1

Hallo Marie,

(x-a1)²+(y-a2)²=(x-b1)²+(y-b2)²

Ausmultiplizieren und vereinfachen.

x²-2x*a1+a1²+y²-2y*a2+a2²=x²-2x*b1+b1²+y²-2y*b2+b2²

-2x*a1+a1²-2y*a2+a2²=-2x*b1+b1²-2y*b2+b2²

(2*b1-2*a1)*x+(2*b2-2*a2)*y=b1²+b2²-a1²-a2²

:-)

Comments

Vielen Dank :)

Und wie sieht man dann am Ende, dass es eine Gerade ist?

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Löse die Gleichung nach y auf. Dann hast du die typische Form y=mx+b. Allerdings darf die Gerade dann nicht parallel zur y-Achse verlaufen.

Oder schreib es in der Form a*x+b*y=c.

Das ist auch eine Form der Geradengleichung.

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Danke jetzt hat es geklappt!