Analysis: Mittelwertsatz - Zeige ||M * v|| <= ||M|| * ||v||

Question

Aufgabe:

Sei \( L: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{m} \) eine lineare Abbildung mit darstellender \( m \times n \) -Matrix \( M= \) \( \left(M_{i j}\right) \) und \( v \in \mathbb{R}^{n} \) ein Vektor. Wir betrachten \( \|M\|=\max \{\|M \cdot v\| \mid\|v\|=1\} \).
Zeigen Sie, dass für alle Vektoren \( v \) gilt \( \|M \cdot v\| \leq\|M\| \cdot\|v\| \).

Problem/Ansatz:

Ich habe keinen Ansatz. Ich weiß nicht, was ich hierfür machen muss. Es hat irgendwas mit dem Mittelwertsatz zu tun, so viel ist klar, aber egal wo ich versuche etwas dazu zu lesen (skript ist nicht existent) steht da nichts was ich irgendwie auf das hier anwenden könnte. Somit verstehe ich einfach die gesamte Aufgabenstellung nicht.

Kann mir jemand sagen, was ich machen muss oder wo ich gute Literatur dazu finde?

Vielen lieben Dank schon einmal.

Comments

Es ist viel einfacher:

Sei \( v \neq 0 \) beliebig. Wir schreiben $$ v = \underbrace{|| v ||}_{=: \lambda} \underbrace{\frac{v}{||v||}}_{:=\tilde v} = \lambda \tilde v $$

Wende jetzt einfach die Eigenschaften der Norm und Matrixrechnung auf \( || Mv || = || M\lambda\tilde v || \). Was kannst du mit dem \( \lambda \) machen?

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Vielen Dank für diese Antwort. Das hat mir sehr weiter geholfen!