Ganzrationale Funktion - Nullstelle berechnen

Question

Also ich soll die Nullstellen ausrechnen nur ich weiß nicht wie :(

f(x)=4x^4-26x^2+6,25

Ich kenne das aber nur so , das bei einem x keine Zahl vor steht .

Könnt ihr mir helfen ?

Answer 1

4 x ⁴ - 26 x ²+ 6x25 = 0

[Division der Gleichung durch 4:]

<=> x ⁴- 6,5 x ² + 37,5  = 0

Nun steht keine Zahl mehr vor dem x ⁴ . Schaffst du es nun, diese Gleichung zu lösen?

 

Anmerkung: Diese Gleichung hat keine relle Lösung. ...

War also vielleicht doch eine andere Funktion gemeint, etwa:

4 x ⁴ - 26 x ²+ 6x + 25 = 0

oder

4 x ⁴ - 26 x ²+ 6x - 25 = 0

Diese Gleichungen haben zwar 4 bzw. 2 Lösungen, aber keine besonders "schönen". Falls es sich hier um eine Schulaufagabe handeln sollte, ist nicht anzunehmen, dass diese gefunden werden sollen. Eher sieht die Funktion noch anders aus ...prüfe das bitte noch einmal.

Comments

Ich habe mich leider vertippt eig war es : f(x)4 x^4 - 26 x ^2 +6,25

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Aha, ja dann ...

Dann erhält man 4 "schöne" Lösungen, nämlich:

x₁ = - 2,5
x₂ = - 0,5
x₃ =  0,5
x₄ =  2,5

Und wie kommt man dazu?

4 x⁴ - 26 x ² +6,25 = 0

Das sieht doch nun eher nach eine Lösung durch Substitution aus:

Setze x ² = z

und forme die Gleichung dementsprechend um. Du erhältst:

4 z ² - 26 z + 6,25 = 0

[Division durch 4:]

<=> z ² - 6,5 z + 1,5625 = 0

Das kann man nun it der pq-Formel lösen oder "zu Fuß" mit der quadratischen Ergänzung (das mache ich jetzt mal hier):

<=> z ² - 6,5 z  = - 1,5625

[Quadratische Ergänzung bestimmen, vorliegend: ( 6,5 / 2 ) ² = 3,25 ² ,und auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens addieren:]

<=> z ² - 6,5 z + 3,25 ² = 3,25 ² - 1,5625

[Linke Seite mit Hilfe der zweiten binomischen Formel als Quadrat schreiben, rechte Seite zusammenfassen:]

<=> ( z - 3,25 ) ² = 9

{[Wurzel ziehen:]

<=> z - 3,25 = ± 3

<=> z = - 3 + 3,25 oder z = + 3 + 3,25

<=> z = 0,25 oder z = 6,25

[Nun Rücksubstiution: z = x ² ]

<=> x ² = 0,25 oder x ² = 6,25

<=> x = ±√ 0,25 oder x = ±√ 6,25

<=> x = - 0,5 oder x = 0,5 oder x = - 2,5 oder x = 2,5

und damit hat man die 4 zu Beginn genannten Lösungen gefunden!