Zeige oder widerlege, dass wenn f stetig mit f(x)=f(x^2) in [0,1], dann ist f konstant

Question

Ich folgende Aussage zeigen oder widerlegen:

Wir haben eine stetige Funktion f: [0,1]→ℝ, welche die Eigenschaft f(x)=f(\( x^{2} \)) für alle x∈[0,1] hat. Daraus folgt, dass f konstant ist.

Ich habe das Gefühl, dass das nicht stimmt und suche die ganze Zeit Gegenbeispiele, kann aber keine finden. Hoffe mir kann jemand helfen.

Comments

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Answer 1

Aloha :)

Wegen \(x\in[0|1]\) kannst du aus \(x\) beliebig oft die Quadratwurzel ziehen, ohne den Definitionsbereich zu verlassen und es ist:$$f(x)=f(\sqrt x)=\cdots=f\left(x^{\frac{1}{2n}}\right)\quad;\quad n\in\mathbb N$$Für alle \(x\in(0;1]\) gilt dann:$$f(x)=\lim\limits_{n\to\infty}f\left(x^{\frac{1}{2n}}\right)=f(1)=\text{const}$$

Für alle \(0<x\le1\) muss die Funktion also konstant sein. Für \(x=0\) gilt diese Folgerung zunächst nicht. Da die Funktion aber nach Voraussetzung stetig ist, muss auch \(f(0)=f(1)\). Daher ist die Aussage korrekt, die Funktion muss konstant sein.

Comments

Wenn \(f\) auf dem Intervall \((0,1)\) konstant und auf \([0,1]\) stetig ist, kann \(f(0)\) nicht beliebig sein.

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Ah, die Stetigkeit habe ich übersehen... Danke, dann haben wir das fehlende Puzzleteil. Ich ergänze das noch in meiner Antwort.