Bestimme, ob die Reihe divergiert oder konvergiert.

Question

Aufgabe:

Bestimme, ob die Reihe divergiert oder konvergiert.

\( \sum\limits_{n=1}^{\infty}{an} \)

mit an = \( \frac{1}{n} \) + \( \frac{(-1)^{n}}{n^{2}} \)

Answer 1

Natürlich divergiert diese Reihe, da schon die harmonische Reihe \( \sum\limits_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n}} \) divergiert. Der zweite Bestandteil der Reihe ergäbe eine konvergente Reihe mit endlicher Summe - aber insgesamt bleibt die Reihe divergent.

Comments

Ist das so einfach?

Die zweite Reihe ist ja negativ. Man zieht also etwas ab.

Daher wäre es für mich nicht offensichtlich, dass es immer noch divergiert.

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Die zweite Teilreihe ist nicht negativ, sondern alternierend (abwechselnd positive und negative Glieder) und hat einen wohlbekannten endlichen Summenwert.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=sum%28%28-1%29%5En%2Fn%5E2%29%2C+n%3D1+to+infinity

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Aha, danke! Logisch, jetzt ...