Untersuchen ob mithilfe eines geeigneten Kriteriums eine Reihe konvergiert oder divergiert

Question

Aufgabe: Untersuchen Sie, ob folgende Reihe konvergent ist

\( \sum\limits_{n=1}^{\infty} \) = 1/n+n^2

Problem/Ansatz: Mein Problem ist das ich nicht genau weiß wie der Ansatz zum rechnen ist, ich habe schon einiges angeschaut aber werde einfach nicht schlau.

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Wenn wir den Nenner kleiner machen, vergrößern wir den Bruch, daher gilt folgende Abschätzung:

$$S_N=\sum\limits_{n=1}^N\frac{1}{n+n^2}<\sum\limits_{n=1}^N\frac{1}{n^2}=\frac{1}{1^2}+\sum\limits_{n=2}^N\frac{1}{n^2}\le1+\sum\limits_{n=2}^N\frac{1}{n(n-1)}$$$$\phantom{S_N}=1+\sum\limits_{n=2}^N\left(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}\right)=1+\sum\limits_{n=2}^N\frac{1}{n-1}-\sum\limits_{n=2}^N\frac{1}{n}=1+\sum\limits_{n=1}^{N-1}\frac{1}{n}-\sum\limits_{n=2}^N\frac{1}{n}$$$$\phantom{S_N}=1+\left(\frac{1}{1}+\sum\limits_{n=2}^{N-1}\frac{1}{n}\right)-\left(\sum\limits_{n=2}^{N-1}\frac{1}{n}+\frac{1}{N}\right)=2-\frac{1}{N}$$Daher gilt:$$\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{n+n^2}=\lim\limits_{N\to\infty}S_N<\lim\limits_{N\to\infty}\left(2-\frac1N\right)=2$$

Comments

Dankeschön für Ihre Hilfe

Answer 2

Hallo

du meinst wohl $$\sum \limits_{n=01}^{\infty}\frac{1}{n^2+n}$$

da ist das Majorantenkriterium doch sehr einfach, wenn man weiss dass $$\sum \limits_{n=01}^{\infty}\frac{1}{n^2}$$ konvergiert.

Gruß lul

Comments

Danke für deine Antwort, könntest du mir vielleicht kurz erklären wie man mit dem Majorantenkriterium rechnet?