Wie sieht die Lösungsmenge aus?

Question

1	2	3		6
0	1	2		3
0	0	0		0

Aufgabe:

Gegeben sind folgende lineare Gleichungssysteme nach Anwendung des Gauß Algorithmus. Wie sieht die Lösungsmenge aus?

Problem/Ansatz:

was soll ich da genau machen ?

1x+1y+0z=2

2x+2y+0z=  weiter komme ich nciht

?so?

Comments

gelöscht :).

Answer 1

Aloha :)

Du kannst das Gleichungssystem noch ein klein wenig umformen. Ziel ist es, möglichst viele Spalten zu bekommen, die aus lauter Nullen und genau einer \(1\) bestehen. Die erste Spalte erfüllt diese Forderung schon. Die zweite spalte kriegen wir auch entsprechend umgeformt:$$\begin{array}{rrr|r|l}x & y & z & = &\text{Aktion}\\\hline1 & 2 & 3 & 6 & -2\cdot\text{Zeile 2}\\0 & 1 & 2 & 3 &\\0 & 0 & 0 & 0 &\\\hline1 & 0 & -1 & 0 & \\0 & 1 & 2 & 3 &\\0 & 0 & 0 & 0 &\end{array}$$Durch diese Umformung können wir nun \(x\) und \(y\) durch \(z\) ausdrücken. Dazu lesen wir die beiden Gleichungen aus dem System ab:$$x-z=0\quad;\quad y+2z=3$$und stellen sie nach der Variablen mit der Einser-Spalte um:$$x=z\quad;\quad y=3-2z$$Damit kannst du nun alle Lösungen des Gleichungssystems angeben:

$$\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}z\\3-2z\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\3\\0\end{pmatrix}+z\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}$$Die Lösungen liegen also alle auf einer Geraden.

Answer 2

Falls gemeint ist:

\( \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 0 & 1 &2\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} \)·\( \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \)=\( \begin{pmatrix} 6\\3\\0 \end{pmatrix} \)

Lautet das Gleichungssystem

x+2y+3z=6

    y+2z=3

          0=0

Dies System hat immer dann eine Lösung, wenn x=z gilt.

Comments

Das System ist unterbestimmt, also könnte man eine Variable frei wählen,oder?

---

Solange wir nicht wissen, was der Fragesteller mit seiner Tabelle meint, bleibt meine Antwort eine Vermutung.