Topologie - Menge im R^3

Question

Aufgabe:

Betrachte folgende Menge:

$$M={(x,y,z)/in R^3:x^2+4y^2<16,z=0}$$

Problem/Ansatz:

Ist (1,0,0) ein inmerer Punkt der Menge? Meine Antwort: Nein, da die Menge keine inneren sondern nur Randpunkte enthält (Begründung: da 2 dim elipse in xy Ebene findet sich keine passende delta Umgebung).

Ist die Menge abgeschlossen? Meine Antwort: Die Menge ist nicht abgeschlossen ist, weil das Komplement nicht offen ist. Stimmt das?

Comments

Ja, das stimmt so. Was wäre denn der Abschluss von M?

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Wenn der Rand der Ellipse zur Menge M dazugehören würde, dann müsste die Menge doch abgeschlossen sein oder? Weil dann nämlich R^3\M eine offene Menge wäre. Korrekt?

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Auch das ist richtig :)

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Meine zugehörige Teilantwort war falsch.

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Trotzdem vielen Dank für die Hinweise!

Answer 1

M ist das Innere einer Ellipse (ohne Rand, daher nicht abgeschlossen) in der Ebene z=0:

Comments

Also besteht die Menge nur aus inneren Punkten? Dann mpüsste sich aber doch zu jedem Punkt eine entsprechende Delta-Umgebung finden lassen. Im R^3 wäre das doch eine Kugel oder nicht? Wie kann die Kugel im R^3 denn nur Punkte de Menge R^3 enthalten? Es müssen doch auch zwangsläufig Punkte außerhalb der Menge dabei sein. Oder denke ich da falsch?

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Man muss den Kugelradius so klein wählen, dass nur noch innere Punkte von M auch innere Punkte der Kugel sind. Wenn ε der Abstand eines Inneren Punktes von M zum nächstgelegenen Punkt auf dem Rand der Ellipse ist, muss für den Radius r gelten r<ε.

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Aber was ist denn mit den Punkten die oberhalb der Ellipse (z>0) und unterhalb der Ellipse (z<0) liegen? Wären diese Punkte nicht zwangsläufig auch in der offenen Kugel enthalten? Damit wären ja auch Punkte außerhalb der Menge M in der Kugel enthalten und somit kann es sich doch nicht um einen inneren Punkt handeln. Oder sehe ich einfach meinen Fehler nicht?

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Wir haben offensichtlich Schwierigkeiten uns gegenseitig zu verstehen.

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Danke schonmal für deine Geduld. Dann lass uns doch kurz die wesentlichen Erkenntnisse vergleichen:

Der Punkt (1,0,0) ist ein innerer Punkt? Ja oder Nein?

Die Menge m ist abgeschlossen? Ja oder Nein?

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Der Punkt (1,0,0) ist ein innerer Punkt? Ja

Die Menge M ist abgeschlossen? Nein

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Danke. Bei der Abgeschlossenheit sind wir ja schonmal einig. Aber warum ist der Punkt ein innerer Punkt? Wir sind ja im R^3.

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Der rote Punkt heißt (1|0|0).

Die z-Achse steht dabei senkrecht auf dieser xy-Ebene. D.h der rote Punkt hat die z-Koordinate 0).

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Aber um diesen Punkt muss doch nun eine Kugel derart gelegt werden, dass alle Punkte im inneren der Kugel auch in der Menge liegen oder nicht? Und die Kugel kann ja schlecht 2 dimensional werden

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Jede Kugel, deren Mittelpunkt der rote Punkt ist und deren Radius genügend klein ist (kleiner als der Abstand zum nächstgelegenen Parabelpunkt) ist hier geeignet.

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Ja das ist klar. Aber die kugel geht doch auch nach oben. Wie willst du denn den Abstand so klein wählen, dass du die Ellipge nach oben oder unten nicht verlässt?