a) Wir zeigen \(-a\cdot b + (-a) \cdot (-b) = 0_K\), denn über Addition folgt daraus sofort \((-a)\cdot (-b)=a\cdot b\).
Es gilt: \(-a\cdot b + (-a)\cdot (-b) \overset{Distributivität}{=} (-a) \cdot (b+(-b)) \overset{Inv. +}{=} (-a) \cdot 0_K \overset{Null \ \cdot}{=} 0_K\).
Abhängig von eurer Definition der Körperaxiome müsstest du ggf. noch zeigen, dass jedes Körperelement \(a\in K\) multipliziert mit dem Nullelement \(0_K\), d.h. dem bzgl. Addition neutralen Element, gleich \(0_K\) ergibt.
(Das folgt allerdings sofort aus \(a\cdot 0_K = a\cdot (0_K + 0_K) = a\cdot 0_K + a\cdot 0_K \Rightarrow 0_K = a\cdot 0_K\).)
b) Idee: Für \(n=dim_K(A)=dim_K(B)\) folgt, dass es Basen \(B_A=\{v_1,...,v_n\}\) von \(A\), bzw. \(B_B=\{w_1,...,w_n\}\) von \(B\) gleicher Länge gibt.
Definiere nun zwischen \(A\) und \(B\) die lineare Abbildung \(f: \ A\rightarrow B\) mit \(f(v_i)=w_i\) für \(i=1,...,n\), d.h. bilde die Basisvektoren aufeinander ab.
Ein paar weitere Anmerkungen:
- da \(B_A\) Erzeugendensystem von \(A\) ist, ist \(f\) insbesondere eine Funktion (total)
- \(f\) ist injektiv, da die Vektoren aus \(B_B\) linear unabhängig sind (\(B_B\) ist eine Basis) und entsprechend die Linearkombination eines jeden Vektors \(w\in B\) aus den Basisvektoren eindeutig ist
- \(f\) ist surjektiv, da \(B_B\) ein Erzeugendensystem von \(B\) ist
Entsprechend ist \(f\) ein Isomorphismus zwischen \(A\) und \(B\), weshalb \(A\) und \(B\) isomorph sind.
