Aufgabe:
Es sei \( K \) ein Drehkoerper, der durch Rotation um die \( z \) -Achse entsteht und dessen Schnitt mit der \( x \) - \( z \) -Ebene durch einen Kreis mit Radius \( r_{0}>0 \) und Mittelpunkt \( (R, 0,0) \) gegeben ist, \( 0<r_{0}<R \).
Wird dieser Schnitt fuer positive \( x \) durch
\( a \leq z \leq b \text { und } 0 \leq f(z) \leq x \leq g(z) \)
beschrieben, dann ist das Volumen \( \operatorname{vol}(K) \) von \( K \) gegeben durch
\( \operatorname{vol}(K)=\pi \int \limits_{z=a}^{b}(g(z))^{2}-(f(z))^{2} d z \)
Bestimmen Sie die Funktionen \( f \) und \( g \) und berechnen Sie \( \operatorname{vol}(K) \).
Tipps:
- Beispielsweise gilt \( f(z)=R-\sqrt{r_{0}^{2}-z^{2}} \)
- Im Laufe der Berechnung des Integrals kann mit \( z=r_{0} \sin (t), t \in\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] \), substituiert werden.
Es gilt \( \operatorname{vol}(K)=k \cdot \pi^{p} \cdot R^{q} \cdot r_{0}^{d} \) mit \( k=\quad, p=\quad q= \)
und \( d= \)
Text erkannt:
Es sei \( K \) ein Drehkoerper, der durch Rotation um die \( z \) -Achse entsteht und dessen Schnitt mit der \( x \) - \( z \) -Ebene durch einen Kreis mit Radius \( r_{0}>0 \) und Mittelpunkt \( (R, 0,0) \) gegeben ist, \( 0<r_{0}<R \).
Wird dieser Schnitt fuer positive \( x \) durch
$$ a \leq z \leq b \text { und } 0 \leq f(z) \leq x \leq g(z) $$
beschrieben, dann ist das Volumen \( \operatorname{vol}(K) \) von \( K \) gegeben durch
$$ \operatorname{vol}(K)=\pi \int \limits_{z=a}^{b}(g(z))^{2}-(f(z))^{2} d z $$
Bestimmen Sie die Funktionen \( f \) und \( g \) und berechnen Sie \( \operatorname{vol}(K) \).
Tipps:
- Beispielsweise gilt \( f(z)=R-\sqrt{r_{0}^{2}-z^{2}} \)
- Im Laufe der Berechnung des Integrals kann mit \( z=r_{0} \sin (t), t \in\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] \), substituiert werden.
Es gilt \( \operatorname{vol}(K)=k \cdot \pi^{p} \cdot R^{q} \cdot r_{0}^{d} \) mit \( k=\quad, p=\quad q= \)
und \( d= \)
Problem/Ansatz:
wäre wirklich dankbar für einen Lösungsweg, da ich nicht verstehe wie ich bei so einer Aufgabenstellung vorzugehen habe. Die gesuchten Zahlen sind k,p,q,d
