Mit Definition zeigen, dass (an)=(n-1)^2/(2n^2+1) Grenzwert 1/2 hat

Question

Ich soll zeigen, dass das Folgende gilt:

\( \left|\frac{(n-1)^{2}}{2 n^{2}+1}-\frac{1}{2}\right|<\varepsilon \)

\( \Longrightarrow \frac{4 n-1}{4 n^{2}+2}<\varepsilon \)

einige Umformungen hab ich schon gemacht (Betrag aufgelöst usw.)

Quadratische Gleichung n1,2?

Answer 1

Zwischen den Beträgen steht:

(n-1)^2 / (2n^2 + 1) - 1/2 

= (2(n-1)^2 - (2n^2 +1)) /(2(2n^2 + 1)

= (2(n^2 - 2n +1) - 2n^2 - 1) /(4n^2 + 2)

= (2n^2 - 4n + 2 - 2n^2 -1) / (4n^2 + 2)

= (1 - 4n)/(4n^2 + 2)

Nun davon den Betrag nehmen.

Der Nenner ist sowieso grösser als 0. Nun noch den Nenner grösser als 0 machen: Also statt (1-4n) nun (4n-1) schreiben.

Daher 

(4n-1)/(4n^2 + 2)  < ε

4n-1 < 4n^2 ε   + 2ε 

0 <  4 ε n^2  - 4n + 1  + 2ε          

Rechts: In Abhängigkeit von n: nach oben geöffnete Parabel mit. Die Funktionswerte liegen nach der rechten Nullstelle oberhalb von 0.

Daher (Mitternachtsformel)

n_o > 1/(8 ε) (4 + √(16 - 16( ε + 2ε^2 )) = 1/(8 ε) (4 + 4√(1 -ε - 2 ε^2 )) =  1/(2ε) (1 + √(1 -ε - 2 ε^2 ))

= (1 + √(1 -ε - 2 ε^2 ))/(2ε) 

Ab jedem no, das grösser als  (1 + √(1 -ε - 2 ε^2 ))/(2ε)  ist, ist der Abstand von -1/2 kleiner als ε. qed (Folge konvergiert gegen 1/2). 

Comments

Mit der Defininition von hier: https://www.mathelounge.de/85724/mit-definition-zeigen-dass-an-4n-1-1-2n-grenzwert-2-hat

kannst du schreiben.

no = ceil(1 + √(1 + 2 ε² ))/(2ε)

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Hier ist ein kleiner Fehler drin:


bei (4n-1)<4n^2*ε-2ε

es muss +2ε sein

Lg

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Danke für den Hinweis. Sollte nun verbessert sein.