Zum Nullpunkt symmetrische Polynomfunktion 5ten Grades

Question

Aufgabe

Eine zum nullpunkt symetrische polynomfunktion 5ten grades hat in punkt P (0/0) die Steigung m=2und im punkt Q (-1/0) einen Wendepunkt

Problem/Ansatz:

Bekomme das nicht hin aufgrund von überforderung

Answer 1

Eine zum nullpunkt symetrische polynomfunktion

Alle Potenzen von \(x\) haben ungerade Exponenten.

5ten grades

(0)        \(f(x) = ax^5 + bx^3 + cx\).

hat in punkt P (0/0) die Steigung m=2

(1)        \(f'(0) = 2\)

und im punkt Q (-1/0)

(2)        \(f(-1) = 0\)

(-1/0) einen Wendepunkt

(3)        \(f''(-1) = 0\)

Verwende (0) um aus (1), (2) und (3) Gleichungen mit den Unbekannten \(a\), \(b\) und \(c\) zu machen. Löse dann das Gleichungssystem. Setze die Lösung in (0) ein.

Answer 2

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Eine zum Nullpunkt symmetrische Polynom-Funktion hat nur ungerade Exponeten:$$f(x)=ax^5+bx^3+cx$$$$f'(x)=5ax^4+3bx^2+c$$$$f''(x)=20ax^3+6bx$$

Im Punkt \((0|0)\) hat sie die Steigung \(m=2\):$$2\stackrel!=f'(0)=c\quad\implies\quad c=2$$Der Punkt \((-1|0)\) gehört zu der Funktion:$$0=f(-1)=-a-b-c\stackrel{(c=2)}{=}-a-b-2\quad\implies\quad a+b=-2$$und die Funktion hat in \((-1|0)\) einen Wendepunkt:$$0\stackrel!=f''(-1)=-20a-6b=-14a-6(a+b)\stackrel{(a+b=-2)}{=}-14a+12\quad\implies\quad a=\frac{6}{7}$$Damit haben wir die Funktion gefunden:$$f(x)=\frac{6}{7}x^5+\left(-2-\frac67\right)x^3+2x$$$$f(x)=\frac{6}{7}x^5-\frac{20}7x^3+2x$$

~plot~ 6/7*x^5-20/7*x^3+2x ; {-1|0} ; 2x ; {0|0} ; [[-2|2|-2|2]] ~plot~

Answer 3

Verwende http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/steckbrief.htm zur Hilfe und Selbstkontrolle

Eigenschaften

f(0)=0
f''(0)=0
f''''(0)=0 | Punktsymmetrische Funktion 5. Grades

f'(0)=2
f(-1)=0
f''(-1)=0

Gleichungssystem

f = 0
2d = 0 → d = 0
24b = 0 → b = 0

e = 2
-a + b - c + d - e + f = 0
-20a + 12b - 6c + 2d = 0

Errechnete Funktion

f(x) = 6/7·x^5 - 20/7·x^3 + 2·x