Steckbriefaufgabe: Parabel 3.Ordnung symmetrisch zu A(3|4) mit ...?

Question

Wie lautet die Gleichung dieser Parabel 3.Ordnung?

Bestimmen Sie die Gleichung einer Parabel dritter Ordnung, die symmetrisch zu A(3|4) verläuft und durch die Punkte P(4|6) und Q(5|2) geht. - Das ist die Aufgabenstellung

Ich verzweifele und komme nicht weiter ich weiß nicht, wie und was ich rechnen muss. Hilfe!

Wäre froh wenn ich heute noch eine Antwort bekäme.
- Danke

Answer 1

Bestimmen Sie die Gleichung einer Parabel dritter Ordnung, 

f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d 

die symmetrisch zu A(3|4) verläuft

f(3) = 4
27·a + 9·b + 3·c + d = 4

f''(3) = 0
18·a + 2·b = 0

und durch die Punkte P(4|6) und Q(5|2) geht.

f(4) = 6
64·a + 16·b + 4·c + d = 6

f(5) = 2
125·a + 25·b + 5·c + d = 2

Das LGS läßt sich mit dem Additionsverfahren lösen. 

27·a + 9·b + 3·c + d = 4
18·a + 2·b = 0
64·a + 16·b + 4·c + d = 6
125·a + 25·b + 5·c + d = 2

Man erhält die Lösung:

a = -1 ∧ b = 9 ∧ c = -24 ∧ d = 22

Die Funktion lautet daher:

f(x) = -x^3 + 9x^2 - 24x + 22 

Comments

bei der zweiten ableitung

f''(3)=0

muss da nicht 6a+2b=0

rauskommen?

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ah eine passt^^

da kommt ja 6ax

wenn man dann die 3 für das x einsetzt kommt ja die 18 raus

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Ich versteh die zweite ableitung nicht könnte sie mir jemand erklären ?

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Was verstehst du nicht

f(x) = a·x^3 + b·x^2 + c·x + d

f'(x) = 3·a·x^2 + 2·b·x + c

f''(x) = 6·a·x + 2·b

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Ich komm nicht drauf was die 3 und 2 vor den variablen a und b zu suchen haben. Ich konnte alles einfach nachvollziehen bis auf diesem Punkt. Wahrscheinlich ist er simple und ich hab da falsch gedacht aber trz. Die parabel ist symmetrisch zum punkt A(3/4) deshalb kommt dann (3/0) was ich auch versteh aber warum eine 2 und 3 dazu kommt noch das der exponent kleiner wird.

Wäre sehr lieb wenn du es für einen Mathelauch wie mich erklären könntest ? :/

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Schau dir noch mal die Potenzregel fürs Ableiten an

f(x) = x^n

f'(x) = n * x^{n - 1}

Answer 2

Ansatz über Verschiebungen gibt nur 2 Unbekannte, keine Ableitungen, dafür Klammern:

y = ax^3 + bx ist symmetrisch zu P(0|0).

symmetrisch zu A(3|4) 

y = a(x-3)^3 + b(x-3) + 4

und durch die Punkte P(4|6) und Q(5|2) geht. 

(I) 6 = a( 4 - 3)^3 + b(4 - 3) + 4 

(I') 6 = a*1^3 + b*1 + 4

(I'') 6 = a + b + 4

(I''') 2 = a+b

(II) 2 = a( 5 - 3)^3 + b(5 - 3) + 4

(II') 2 = a*2^3 + b*2 + 4

(II'') -2 = 8a + 2b

Nun erst mal nachrechnen und dann das (allenfalls korrigierte) gefundene Gleichungssystem lösen: 

(I''') 2 = a+b

(II''') -1 = 4a + b

Zum Schluss a) und b) hier einsetzen

y = a(x-3)^3 + b(x-3) + 4

und wenn nötig Klammern noch sorgfältig auflösen. 

Bemerkung. Habe diesen Weg hingeschrieben, falls du erst Parabeln und deren Verschiebungen, aber noch keine Ableitungen kennst. Ableitung wird in folgendem Video eingeführt, kommt sicher vor dem Abitur dann auch noch in der Schule.

https://www.matheretter.de/wiki/grafisches-ableiten