Berechnen Sie alle reellen und komplexen Nullstellen des Polynoms p mit

Question

Aufgabe: Komme hier auch nicht weiter. Kann mir jemand die Lösung + den Lösungsweg sagen?

Text erkannt:

Berechnen Sie alle reellen und komplexen Nullstellen des Polynoms \( p \) mit
\( p(z)=z^{3}-z^{2}+2 \)
Hinweise:
- Geben Sie die Menge der Nullstellen in geschweiften Klammern an und trennen Sie die Elemente durch
Kommata.
- Geben Sie die Antwort mathematisch exakt, also nicht mit
Fließkommazahlen an.
Nullstellen:
\( \{z 1, z 2, \ldots\} \)

Answer 1

p(z)=z^3-z^2+2

z^3-z^2+2=0

Durch Erraten der Nullstelle: z₁=-1

Polynomdivision:

  (z^3-z^2+2):(z+1)=z^2-2z+2

-(z^3+z^2)

...............

    -2z^2   +  2

 -(-2z^2-2z)

....................

          2z+2

        -(2z+2)

.......................

               0

z^2-2z+2=0

z^2-2z=-2

(z-1)^2=-2+1=-1=i^2|\( \sqrt{} \)

1.)  z-1=i

z₂=1+i

2.)  z-1=-i

z₃=1-i

{-1,1+i,1-i}

Answer 2

Hier kannst du eine der Nullstellen relativ schnell durch raten bestimmen (hier ist es -1).

Dann Polynomdivision mit \(z-(-1)=z+1\) durchführen und die Nullstellen des verbleibenden Polynoms zweiten Grades kannst du dann auch bestimmen.

Comments

Danke, allerdings bräuchte ich die Lösung. Was wäre hier die Lösung?

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Ich wollte hier bewusst nicht die gesamte Lösung angeben, da die Polynomdivision und das Lösen des verbleibenden Polynoms nun wirklich kein Hexenwerk mehr ist.

Wenn du Fragen dazu hast, kannst du sie doch stellen.

Solltest du wirklich keinerlei Interesse an dem eigenständigen Lösen haben, verweise ich dich mal auf wolframalpha (finde ich allerdings schade).