3. Für \( \nu \in \mathbb{R} \) ist\(y^{\prime \prime}+\frac{1}{x} y^{\prime}+\left(1-\frac{\nu^{2}}{x^{2}}\right) y=0\)die Besselsche Differentialgleichung.(a) (3P) Schreiben Sie das Anfangswertproblem \( y(1)=1, y^{\prime}(1)=\nu \) für die Besselsche Differentialgleichung als Anfangswertproblem eines Systems und schreiben Sie das Anfangswertproblem für dieses System als Fixpunktgleichung \( G(\varphi)=\varphi \) wie beim Beweis des lokalen Existenz- und Eindeutigkeitssatzes.(b) (7P) Der Beweis des lokalen Existenz- und Eindeutigkeitssatzes besagt, dass es ein \( \epsilon>0 \) gibt, so dass die durch \( \varphi^{0}(x)=\left(\begin{array}{c}x^{\nu} \\ \nu x^{\nu-1}\end{array}\right) \) und \( \varphi^{n+1}=G\left(\varphi^{n}\right) \)rekursiv definierte Folge in \( C\left([1-\epsilon, 1+\epsilon], \mathbb{R}^{2}\right) \) konvergiert. Bestimmen Sie \( \varphi^{1} \) und \( \varphi^{2} \). Hinweis: Die Startfunktion \( \varphi^{0} \) wird gewählt, weil wir sie auf Blatt 11 als Lösung der Eulerschen Differentialgleichung \( y^{\prime \prime}+\frac{1}{x} y^{\prime}-\frac{\nu^{2}}{x^{2}} y=0 \) gefunden hatten.
